物理の問題で教えてほしいものがあります。

床、斜面はなめらかで、物体Bを静かに放したとき、加速度a（水平方向）、ｂ（斜面方向）を求めよ。
画像が縦になっていますが、実際は横向きです。

No.1 回答者： hhanz10 回答日時： 2012/05/16 09:11

当方は物理初心者ですが、自分の勉強のため解いてみました。

bは地面に対する加速度でしょうか？一応それでやると、
a=mgsinθcosθ/M
b=gsinθ(1-mcos^2θ/M)
になりました。合っているかどうかわかりません。
どなたか検証お願いいたします。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
確か、答えはもっと複雑だった気がします！

お礼日時：2012/05/16 09:46

No.2 回答者： Quarks 回答日時： 2012/05/16 14:27

台（斜面）も動くので、静止した観測者から見た運動は、表現が複雑になります。

このような場合は、斜面上にいる観察者を登場させて、彼に報告させるのが得策です。

さて、斜面は加速度ａで左に移動中ですから、彼にとっては（台は静止したままですが）、物体には、慣性力（ｍａの大きさ）が右向きに働くように見えます。
物体には、この他に、下向きに重力ｍｇ，斜面に垂直な方向に直抗力Ｎが働きます。
この結果、物体は斜面に沿って滑り降りるように見えるわけですから、
慣性力、垂直抗力、重力の合力が斜面に沿った方向になっています（静止していた物体が動き出す方向が、合力の方向です）。
図形的にみると、合力の大きさＦは
Ｆ＝ｍｇsinθ

つまり、彼から見た物体の加速度γは、斜面に沿って下向きに　ｇ・sinθ　となります。
ただし、これは、慣性力に起因する加速度を加えた加速度ですから、ｂ　とは異なります。
ベクトルγ＝ベクトルｂ＋ベクトルα
が成り立っているわけです。

成分で表現すると
g・sinθ・cosθ＝ｂx＋ａ　　（１）
g・sinθ・sinθ＝ｂy　　　　（２）

（２）からただちに、　ｂy=g・(sinθ)^2　が導かれます。

次に、外部の観察者から見てみます。床面が滑らかなので、系全体には横方向の外力が働いていませんから、横方向の運動量は保存します。

動き始めてｔ後の速度は、　台が　ａ・ｔで左向き、物体が　ｂx・tで右向きです。
運動量保存則から

０＝Ｍ・(ａｔ)－ｍ・(ｂx・ｔ)
∴Ｍ・ａ＝ｍ・ｂx　　　　　　（３）

(1),(3)を連立方程式として解くと

ｂx＝ｇ・(Ｍsinθ・cosθ/(M+m))
（３）に代入して
ａ＝ｇ・(m・sinθ・cosθ/(M+m))

ｂの大きさは√(ｂx^2＋ｂy^2)ですから

|ｂ|＝ｇ・sinθ・√(M^2＋（2M+m)m・(sinθ)^2)

No.3 回答者： Quarks 回答日時： 2012/05/16 16:29

ANo.2です。

　方程式の項を１つ落としていました。以下、訂正です。
　
斜面上の観察者から見た、物体に作用する合力の大きさＦは
Ｆ＝ｍｇ・sinθ＋ｍａ・cosθ　
でした。
ANo.2では、この第２項を落としてました。

彼から見た物体の加速度 γ は斜面に沿って下向きで
γの大きさ＝(ｇ・sinθ＋ａ・cosθ）

慣性力の加速度を考慮すると
ベクトルγ＝ベクトルｂ＋ベクトルａ
ベクトルｂを成分（ｂx,ｂy）で表現すると

γの横成分＝（ｇ・sinθ＋ａ・cosθ）・cosθ＝ｂx＋ａ　　式（１）
γの縦成分＝（ｇ・sinθ＋ａ・cosθ）・sinθ＝ｂy　　　　式（２）

横方向の運動量保存より
Ｍ・ａ＝ｍ・ｂx　　　式（３）

以下は、連立方程式を解く操作になります。

(1),(3)より
ａ＝{(ｍ・sinθ・cosθ)/(Ｍ＋ｍ・(sinθ)^2)}ｇ
ｂx={(Ｍ・sinθ・cosθ)/(Ｍ＋ｍ・(sinθ)^2)}ｇ
(2)に代入して
ｂy={{(Ｍ＋ｍ)・(sinθ)^2}/{Ｍ＋ｍ・(sinθ)^2}}・ｇ・(sinθ)^2

|ｂ|＝√(ｂx^2＋ｂy^2)
＝{ｇ・sinθ/(Ｍ＋ｍ・(sinθ)^2)}・√(Ｍ^2＋(２Ｍ＋ｍ)・ｍ(sinθ)^2)

No.4 ベストアンサー 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2012/05/18 17:20

慣性系で解いてみます

物体Bの加速度を小文字のaで、斜面の加速度を大文字のAであらわすと、
物体Bに働いているのは重力mgと斜面からの垂直抗力Rだけなので、
幾何学的な関係から運動方程式が

(1) m ax = R sinθ
(2) m ay = R cosθ-mg

斜面は鉛直方向には運動せず、水平方向はRの反作用だけなので

(3) M Ax = - R sinθ
(4) M Ay = 0

物体Bが斜面上を動くという条件から斜面に対する相対加速度の成分比がtanθにならないといけないので、符号に注意すると(4)を使って

[ ay - Ay ] / [ax - Ax ] = ay / [ax - Ax ] = - tanθ

したがって

(5) ay = -(ax - Ax) tanθ

(1)と(3)から

ax - Ax = (1/m+1/M) R sinθ = [ (M+m)/Mm ] R sinθ

となるのでこれを(5)に、その結果をさらに(2)に代入して

m { -[ (M+m)/Mm ] R sinθ tanθ}
= -[ (M+m)/M ] R [sin^2θ/cosθ] = R cosθ-mg

これを整理して

R = [ m M cosθ/(M+m sin^2θ) ] g

以下、代入をくり返せば芋づる式に解けますので、
求めよと言われているaの大きさは

a = |Ax|

で、bの大きさは

b = √[ax^2 + ay^2 ]

でえられます。

No.5 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2012/05/18 17:32

書いてからふと気になったんですが、

＞ｂ（斜面方向）

というのはどういう意味ですか？
斜面沿っての加速度なら斜面に対する相対加速度ですから、

b = √[(ax-Ax)^2 + ay^2 ] = | ax - Ax|/cosθ= |ay|/sinθ

ですね・・・・・