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x=1+√2iのとき、次の問いにこたえよ

x^2-2x+3=0であることを示し、
それを使いx^3+3x^2-5x-14の値をもとめよ

文字だけでなく、言葉で説明もおねがいします

A 回答 (2件)

x=1+√2iのとき



x-1=√2i

両辺2乗して

(x-1)^2=-2

展開してすべての項を左辺にもってくると

x^2-2x+3=0


ついでにその逆もやりましょう。

x^2-2x+3=0

から

(x-1)^2+2=0

はわかりますか。そうすると

(x-1)^2=-2=(√2i)^2

よって

x-1=±√2i

つまり

x=1-√2iも

x^2-2x+3=0

です。



x^3+3x^2-5x-14

=x(x^2-2x+3)+2x^2-3x+3x^2-5x-14

=5x^2-8x-14 (x^2-2x+3=0だから)

=5(x^2-2x+3)+10x-15-8x-14

=2x-29

=2(1+√2i)-29=-27+2√2i
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x=1+√2iより、x-1=√2i


両辺を2乗する。
x^2-2x+1=2(i^2)=-2
∴x^2-2x+3=0

x^3+3x^2-5x-14をx^2-2x+3で割る。
x^3+3x^2-5x-14=x(x^2-2x+3)+5x^2-8x-14
5x^2-8x-14をx^2-2x+3で割る。
5x^2-8x-14=5(x^2-2x+3)+2x-29
∴x^3+3x^2-5x-14=(x+5)(x^2-2x+3)+2x-29
ここで、x^2-2x+3=0であるから、x^3+3x^2-5x-14の値は2x-29に等しい。
∴x^3+3x^2-5x-14=2(1+√2i)-29=-27+2√2i
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