回折格子 |Δ(d)|、|Δ(θ)|

回折格子とスクリーンを平行におき、これらに垂直にレーザー光を当てるとスクリーン上に明暗の縞があらわれました。ｄ：格子定数、θ：回折角とすると、
dsinθ=mλによりθからｄを決定しました。次数の高い回折像から求めたｄのほうが正しい値に近づく。それはd=m・λ/sin(θ)より

Δ(d)=-m・λ・cos(θ)・Δ(θ)/(sin(θ))^2=-d^2・Δ(θ)/λ/m
すなわち
|Δ(d)|=(d^2/λ/m)・|Δ(θ)|

mが大きいほうが誤差が小さい。と以前答えをいただいたのですが、何故微分するのか、|Δ(d)|・|Δ(θ)|またこの２つが何を示してるのかわからないので、改めて質問します。教えてください。何を示してるのかを

No.1 回答者： ryn 回答日時： 2004/01/15 02:18

微分しているのは、θ の値が少し異なった場合に

どれくらい d の値が異なってしまうかを知りたいからです。

|Δ(d)|、|Δ(θ)| はそれぞれ、d、θの誤差です。

この回答への補足

＞|Δ(d)|、|Δ(θ)| はそれぞれ、d、θの誤差です。

なぜこれが誤差だといえるのですか？具体的に教えていただけませんか？

補足日時：2004/01/15 02:21

No.2 ベストアンサー 回答者： ryn 回答日時： 2004/01/15 02:44

正しい角度 θ から計算した値を d、

測定した角度 θ' から計算した値を d' とします。
ここで、
　d=m・λ/sin(θ)
　d'=m・λ/sin(θ')
がそれぞれ成り立っています。

測定値 θ' が θ から少しずれていた場合、
d の値も d' へとずれてしまいます。
θのずれをΔθ、dのずれを Δd とおくと
　θ' = θ + Δθ
　d' = d + Δd
ですね。

それでは実際にΔdを計算してみます。
　Δd = d' - d
　　　　= mλ/sinθ' - mλ/sinθ
　　　　= mλ{ 1/sin(θ+Δθ) - 1/sinθ }
　　　　= mλ{ 1/{sinθ*cos(Δθ) + cosθ*sin(Δθ)} - 1/sinθ}
Δθ が小さいとき、cos(Δθ)≒1, sin(Δθ)≒Δθ とすると
　　　　= mλ{ 1/{sinθ + Δθ*cosθ} - 1/sinθ }
　　　　= (mλ/sinθ)*{ (1 + Δθ/tanθ)^(-1) -1 }
ここで x が小さいときに (1 + x)^n ≒ 1 + nx
という近似が成り立つことを用いると
　　　　= (mλ/sinθ)*(-Δθ/tanθ)
　　　　= {- mλcosθ/(sinθ)^2} * Δθ
と成ります。

微分を知っているならこのような作業をせずに、
楽に同じ結果が出てきますね。

No.3 回答者： keyguy 回答日時： 2004/01/15 02:44

前回は絶対誤差だったので今回は相対誤差を考えてみよう。

d=m・λ/sin(θ)より
Δ(d)=-m・λ・cos(θ)・Δ(θ)/(sin(θ))^2=-d^2・cos(θ)・Δ(θ)/λ/m
すなわち
|Δ(d)|=(d^2/λ/m)・cos(θ)・|Δ(θ)|
すなわち
|Δ(d)/d|=(d/λ)・cos(θ)・|Δ(θ)|/m

自然数mが大きいほうが相対誤差は小さい。
(自然数mを大きくするとcos(θ)も小さくなるのでcos(θ)を省略する必要は無かった。)