群で単位元について分かりません。

Question

群を学習するにあたって、単位元というのが出てくるのですが、
教科書には、
もし、演算に単位元が存在するならば、それは一意である。というようなことが書かれていたのですが、
それは、単位元が演算によって決定されるということなんでしょうか？

勿論、仮に二つ単位元が存在した場合、
a,b=単位元
a=a*b=b*a=b

となり、a＝bとなることはわかります。
ですが、群全体の単位元がaだとして、部分群の単位元がbだとすると、
かならずしもa=bでは無いんじゃないでしょうか？

というのも、例えば、掛け算で、R空間全体が群として勿論単位元は１です。
ですが、例えばその部分群｛0}では、単位元は０だからです。
a=0,
単位元をbとするとb=0
a*b=b*a=a=0
だからです。

ということは、同じ演算で作られた群でも、違う集合で違う単位元が存在できるということですよね？

つまり、教科書で言っているのは、ある特定の群に対し、単位元は一つしかない。

ということであっているでしょうか？？

どなたかよろしくお願いします。

kabaokaba · Accepted Answer

いいところこついてるというか
こういうことをきちんと考えるのはいいことだと思います．

>というのも、例えば、掛け算で、R空間全体が群として勿論単位元は１です。
>ですが、例えばその部分群｛0}では、単位元は０だからです。

ここが間違え．
R全体は掛け算を演算として群にはなりません．
R全体には要素0がありますが，掛け算に関して0は逆元をもちません．
したがって，Rは掛け算を演算とした群ではありません．

Rから0を抜いたR^x = R-{0}が掛け算を演算として群となり
これの単位元は「1」です．
したがって，{0}は部分群ではありません．

一方，掛け算を演算として，{0}は群か？
これはOKです．たしかに群の定義は満たします．
まあ，実際は「0で割る」をやってるように「みえる」ので
違和感ありまくりですけどね．
けど・・・実は0+0=0なので足し算を演算としても実は群です．
ぶっちゃけた話，要素数が1の集合は群になるんです．

Rを足し算を演算として群とみなした場合
{0}はこの「足し算を演算とした群R」の部分群であり
{0}の演算は「足し算」です．

これでわかるように
群というのは集合とその上での演算のペアです．
したがって足し算を演算とした場合のRは
(R,+)とするのが誤解を招きません（省略することが多いけど）．
このとき
({0},+)は(R,+)の部分群であり，
部分群であれば部分群の単位元は，その「親」の単位元と一致します．

あとは教科書の部分群の定義をよく吟味しましょう．
たぶん，演算*を持つ群G，つまり(G,*)の部分群の定義では
Gの部分集合Hをとって，演算としてはGと同じ「*」をとっていることがわかるはずです
＃別の演算をとるならその演算を定義してるはずで，
＃そうだったらそれはすでに「部分」群ではない！

最後に例をあげましょう
複素数全体のCは加法で群です．
Rから0をとった集合R^xはCの部分集合です．
だからといって
R^xは(C.+)の部分群ではありません．
しかし，(R^x,*)は群です（*は掛け算）．
(C,+)の単位元は0ですが
(R^x,*)の単位元は1です．

kabaokaba · Answer

{5}が群になるかという点

すでにフォローがついてますが，
なります．演算を適切に定めればいいだけです．

{5}で閉じる必要があるから必然的に自明な演算のみです．

しかし，そのような群{5}が(R,+)とか(C,+)の加法群としての部分群になるかというと
そういうわけではありません．
これは{0}と(R,+)の関係と同じようなものです．

要素数が1の集合は常に群とできるが
それが何らかの群の部分群になるかはまた別件です．

alice_44 · Answer

ところで、蛇足ながら、
部分群の単位元が、もとの群の単位元と一致することの証明：

群 (G,*)  の単位元が e、
その部分群 (H,*) の単位元が h だとする。
H の任意の元 a について h*a=a であるから、
G 内で両辺に a^-1 を掛ければ、h=e。

Tacosan · Answer

「例えば｛５｝という集合があるとします。そこで演算を足し算として～」
のところですが, これは「もともと何かの群があり, その一部の要素を持ってきたらどうなるのか」という話ですよね. で, そういう話であれば, 当然「持ってきた要素によっては群にならないこともある」という結論になります.

でも, #3 の「ぶっちゃけた話，要素数が1の集合は群になるんです．」というのは, それとは違う話です. つまり, 「要素数が 1の集合に演算を導入すると (その集合の中で演算が閉じてなければならないので) 群になる」ということです.

Tacosan · Answer

#1 で言っているのは「掛け算で、R空間全体が群として勿論単位元は１です」が間違っている, ということ.

ta20000005 · Answer

0を含んだら掛け算での0の逆元が無いので群になりません。なので、そのようなことは起きませんからご安心を。

いいところこついてるというか