群を学習するにあたって、単位元というのが出てくるのですが、
教科書には、
もし、演算に単位元が存在するならば、それは一意である。というようなことが書かれていたのですが、
それは、単位元が演算によって決定されるということなんでしょうか?
勿論、仮に二つ単位元が存在した場合、
a,b=単位元
a=a*b=b*a=b
となり、a=bとなることはわかります。
ですが、群全体の単位元がaだとして、部分群の単位元がbだとすると、
かならずしもa=bでは無いんじゃないでしょうか?
というのも、例えば、掛け算で、R空間全体が群として勿論単位元は1です。
ですが、例えばその部分群{0}では、単位元は0だからです。
a=0,
単位元をbとするとb=0
a*b=b*a=a=0
だからです。
ということは、同じ演算で作られた群でも、違う集合で違う単位元が存在できるということですよね?
つまり、教科書で言っているのは、ある特定の群に対し、単位元は一つしかない。
ということであっているでしょうか??
どなたかよろしくお願いします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
いいところこついてるというか
こういうことをきちんと考えるのはいいことだと思います.
>というのも、例えば、掛け算で、R空間全体が群として勿論単位元は1です。
>ですが、例えばその部分群{0}では、単位元は0だからです。
ここが間違え.
R全体は掛け算を演算として群にはなりません.
R全体には要素0がありますが,掛け算に関して0は逆元をもちません.
したがって,Rは掛け算を演算とした群ではありません.
Rから0を抜いたR^x = R-{0}が掛け算を演算として群となり
これの単位元は「1」です.
したがって,{0}は部分群ではありません.
一方,掛け算を演算として,{0}は群か?
これはOKです.たしかに群の定義は満たします.
まあ,実際は「0で割る」をやってるように「みえる」ので
違和感ありまくりですけどね.
けど・・・実は0+0=0なので足し算を演算としても実は群です.
ぶっちゃけた話,要素数が1の集合は群になるんです.
Rを足し算を演算として群とみなした場合
{0}はこの「足し算を演算とした群R」の部分群であり
{0}の演算は「足し算」です.
これでわかるように
群というのは集合とその上での演算のペアです.
したがって足し算を演算とした場合のRは
(R,+)とするのが誤解を招きません(省略することが多いけど).
このとき
({0},+)は(R,+)の部分群であり,
部分群であれば部分群の単位元は,その「親」の単位元と一致します.
あとは教科書の部分群の定義をよく吟味しましょう.
たぶん,演算*を持つ群G,つまり(G,*)の部分群の定義では
Gの部分集合Hをとって,演算としてはGと同じ「*」をとっていることがわかるはずです
#別の演算をとるならその演算を定義してるはずで,
#そうだったらそれはすでに「部分」群ではない!
最後に例をあげましょう
複素数全体のCは加法で群です.
Rから0をとった集合R^xはCの部分集合です.
だからといって
R^xは(C.+)の部分群ではありません.
しかし,(R^x,*)は群です(*は掛け算).
(C,+)の単位元は0ですが
(R^x,*)の単位元は1です.
回答ありがとうございます。
なるほど! よく分かりました。
確かに、よくよく考えたら0を含めたRは掛け算の演算で群として成り立ってませんでした。
とても分かりやすく、勉強になります。
ただ、一つわからないのが、
>ぶっちゃけた話,要素数が1の集合は群になるんです.
なのですが、
例えば{5}という集合があるとします。
そこで演算を足し算として
5+5=10 の時点で 10は{5}にないため
この集合を考えたときに
5+5=Undefinedとなるのではないのでしょうか?
なので演算自体成立しないというかつまり群にならないのではないんでしょうか?
そうすると足し算で成り立つ要素数が1の群は{0}しか無い様に思えます。
もっと言うと、演算自体が
写像:{5}X{5}ー>{5}≠10
でなければいけないから”足し算”という演算自体が要素数1の場合、{0}以外成立してないように思えます。。
この考え方は間違っているのでしょうか。。。?
No.6
- 回答日時:
{5}が群になるかという点
すでにフォローがついてますが,
なります.演算を適切に定めればいいだけです.
{5}で閉じる必要があるから必然的に自明な演算のみです.
しかし,そのような群{5}が(R,+)とか(C,+)の加法群としての部分群になるかというと
そういうわけではありません.
これは{0}と(R,+)の関係と同じようなものです.
要素数が1の集合は常に群とできるが
それが何らかの群の部分群になるかはまた別件です.
又の回答ありがとうございます。
要素数が1の集合は、必ず群と成れる演算が存在する、ということですね。
群論の基本的なところでつまずいていたので、本当に助かりました!
ありがとうございます!
No.5
- 回答日時:
ところで、蛇足ながら、
部分群の単位元が、もとの群の単位元と一致することの証明:
群 (G,*) の単位元が e、
その部分群 (H,*) の単位元が h だとする。
H の任意の元 a について h*a=a であるから、
G 内で両辺に a^-1 を掛ければ、h=e。
回答ありがとうございます。
おぉ!この証明が欲しかったんです!
痒い所に手が届いたというか、もやもやが一つ消えました。
ありがとうございます!
No.4
- 回答日時:
「例えば{5}という集合があるとします。
そこで演算を足し算として~」のところですが, これは「もともと何かの群があり, その一部の要素を持ってきたらどうなるのか」という話ですよね. で, そういう話であれば, 当然「持ってきた要素によっては群にならないこともある」という結論になります.
でも, #3 の「ぶっちゃけた話,要素数が1の集合は群になるんです.」というのは, それとは違う話です. つまり, 「要素数が 1の集合に演算を導入すると (その集合の中で演算が閉じてなければならないので) 群になる」ということです.
回答ありがとうございます。
なるほど、考えてみたら当たり前の話ですよね。。
要素数が1の集合、というのは部分群とは違う話だというのはよく分かりました。
一つ理解が深くなりました!
No.1
- 回答日時:
0を含んだら掛け算での0の逆元が無いので群になりません。
なので、そのようなことは起きませんからご安心を。この回答への補足
回答ありがとうございます。
群は自学で習い始めたばかりなので、よく分からないことが多いのですが、
逆元の定義は私の解釈ですと
a*a^-1=b
b=単位元
ですので、集合{0}上では、上に述べたとおり、掛け算の演算においては、0が単位元になるのではないんでしょうか。
ということは逆元 (xとする)は、
0*x=x*0=0
となる存在、つまり0の逆元はどの数字でもありということになり、勿論それは0も含まれるので
x=0
しかも、x∈{0}
なので0は逆元として成り立たないんでしょうか?
(0*0)*0=0*(0*0) (結合性)
0*0=0 (単位元の存在)
0*0=0*0=0 (逆元の存在)
0*0=0∈{0}
上の群の定義に{0}はすべて当てはまっていると思うのですが、何がおかしいのかよく分かりません。。
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