三角関数の不等式

sin2θ＞0かつcosθ＞-1/2の求め方を教えてください

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/07/03 21:17

(1)sin(2θ)＞0より

　2nπ＜2θ＜(2n+1)π (n：任意の整数)
θの範囲は
　nπ＜θ＜nπ+(π/2) (n：任意の整数)
（添付図の水色の範囲の角度）

(2)cosθ＞-1/2より
　2mπ-(2π/3)＜θ＜2mπ+(2π/3) (m：任意の整数)　
（添付図の黄色の範囲の角度）

(1),(2)を同時に満たすθの範囲を単位円の図を使って求めれば良いでしょう。

(1)と(2)を同時に満たすθの範囲は、添付図の水色の領域と黄色の領域の共通領域の角度の範囲で、下の図の緑色の領域の角度の範囲になります。

不等式でθの範囲を書けば以下の通りになります。

2kπ＜θ＜2kπ+(π/2) または 2kπ-(2π/3)＜θ＜2kπ-(π/2)
(k: 任意の整数）

あるいは、以下の解でも良いでしょう。

2kπ＜θ＜2kπ+(π/2) または (2k-1)π+(π/3)＜θ＜(2k-1)π+(π/2)
(k: 任意の整数）
　

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2012/07/03 22:06

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2012/07/04 04:03

←A No.1 補足

(a) cosθ=-1/2 となる θ の値を間違えている。
cos が何者だかよく解っていないのは、重症だ。
教科書ガイドがあると役に立つと思うが、
無ければ、教科書そのものを読もう。
問題の解答を眺めて済むレベルの間違いじゃない。
(b) 細かいことだが、θ=0 を忘れている。

この回答への補足

cosθって単位円周上の点におけるx座標ではないのですか？

間違いですが0≦ですね

補足日時：2012/07/04 20:52

No.4 回答者： ferien 回答日時： 2012/07/03 21:45

＞sin2θ＞0かつcosθ＞-1/2の求め方を教えてください

０≦θ＜２πとします。
＞sin2θ＞0
２倍角の公式より、
２sinθcosθ＞０より、sinθcosθ＞０だから、
sinθ＞０，cosθ＞０　…（１）　または　sinθ＜０，cosθ＜０　…（２）
（１）のとき、両方を満たす範囲は、０＜θ＜π/2
（２）のとき、両方を満たす範囲は、π＜θ＜3π/2
＞cosθ＞-1/2
単位円より、ｘ＝-1/2より、右側の部分だから、
０≦θ＜2π/3，4π/3＜θ＜２π　……（３）
（１）と（３）の共通範囲は、０＜θ＜π/2
（２）と（３）の共通範囲は、4π/3＜θ＜3π/2
よって、０＜θ＜π/2　または　4π/3＜θ＜3π/2

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2012/07/03 22:07

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2012/07/03 21:31

#2です。

>すみません 0≦θ＜2πという条件を書き忘れていました

そうなら
(1)sin(2θ)>0のθの範囲はA#2の単位円の図の水色の領域の角度なので
　0＜θ＜π/2、π＜θ＜3π/2
(2)cosθ>-1/2のθの範囲はA#2の単位円の図の黄色の領域の角度なので
　0≦θ<2π/3、4π/3<θ<2π
(3)(1)と(2)を同時に満たすθは水色と黄色の部分の共通領域なので緑色の領域の角度になり、
　0＜θ＜π/2, 4π/3＜θ＜3π/2
となります。

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2012/07/03 19:54

求め方：

(1) sinφ＞0 を解いて、φ=2θ から θ の範囲を求める。
(2) cosθ＞-1/2 を解く。
(3) 上記の共通部分を求める。

sinφ＞0 や cosθ＞-1/2 が個別に解けなかったら、
単位円の絵を書いて、よく考える。

この回答への補足

sin2θはわかりましたが
cosθ＞-1/2がわかりません
単位円で-1/2以下になるのはsin7π/6から11π/6だから0＜θ＜7π/6、11π/6＜θ＜2πとなってしまいます

すみません 0≦θ＜2πという条件を書き忘れていました

補足日時：2012/07/03 20:17

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2012/07/03 22:06