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No.3ベストアンサー
- 回答日時:
No.1です。
間違えてました。6cosh(xln9)-26cosh(xln3)+16=0
6cosh(2xln3)-26cosh(xln3)+16=0
xln3=lntとおくと
6cosh(2lnt)-26cosh(lnt)+16=0
cosh(lnu)=(u+1/u)/2、cosh(2lnu)=(u^2+1/u^2)/2より、
3(t^2+1/t^2)-13(t+1/t)+16=0
3(t^4+1)-13(t^3+t)+16t^2=0
3t^4-13t^3+16t^2-13t+3=0
3(t^4-3t^3)-4(t^3-3t^2)+4(t^2-3t)-(t-3)=0
(3t^3-4t^2+4t-1)(t-3)=0
3(t^2-t+1)(t-1/3)(t-3)=0
t=3、1/3、(1±i√3)/2が解となるため、実数解のみを扱うと
x=1、-1となることがわかる。(2個)
最小のxは-1。
No.4
- 回答日時:
いずれにしても置き換えは必要になる。
慣れてれば、3^x + 3^-x=α とすぐ置き換えても良いが。
3^x =αとすると α>0 3^-x=1/α。又、9^x=(3^2)x=α^2、9^-x=1/α^2.
従って、条件式は、3(α^2+1/α^2)-13(α+1/α)+16=0.
ここで、α^2+1/α^2=(α+1/α)^2-2α*1/α=(α+1/α)^2-2 に着目する。
α+1/α=mとする。α>0から 相加平均・相乗平均より m≧2
この時、条件式は 3m^2-13m+10=(m-1)*(3m-10)=0 m≧2から m=10/3.
α+1/α=10/3 から α=3、1/3。
(1) α=3の時 3^x=3 から x=1.
(2) α=1/3の時 3^x=1/3 から x=-1.
これを答案に纏めるだけ。
No.2
- 回答日時:
>3(9^x + 9^-x)-13(3^x + 3^-x)+16=0 を満たす実数xは全部で □個あり、
>そのうち最小のxは □ である。
3^x+3^-x=tとおくと、t>0
9^x+9^-x
=(3^2)^x+(3^2)^-x
=(3^x)^2+(3^-x)^2
=(3+^x+3^-x)^2-2×(3^x・3^-x) …3^x・3^-x=3^0=1
=t^2-2
よって、元の方程式は、
3(t^2-2)-13t+16=0
3t^2-13t+10=0
(3t-10)(t-1)=0より、
t=10/3,1
t=1のとき、9^x+9^-x=1^2-2=-1<0となり、これはあり得ないので不適
よって、t=10/3
3^x+3^-x=10/3より、3^x=u>0とおくと、3^-x=u^(-1)=1/u
u+(1/u)=10/3
両辺に3uを掛けて分母を払って整理すると、、
3u^2-10u+3=0
(3u-1)(u-3)=0だから、
u=1/3,3
3^x=1/3=3^(-1)より、x=-1
3^x=3より、x=1
以上より、方程式を満たす実数xは、x=-1,1の2個で、
最小なのは、x=-1
でどうでしょうか?
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