振動の問題について質問です

Question

添付画像の問題について質問です
私はこの問題の解答は
(1)
x=C1cos(Ωt)+C2sin(Ωt)+(kX0sin(ωt))/(k-mω^2)
(2)
f=kC1cos(Ωt)+kC2sin(Ωt)+(kX0mω^2sin(ωt))/(k-mω^2)

ただしΩ=(k/m)^1/2，C1,C2は積分定数

となると思います．
これは院試の過去問で一応先輩が作った解答(大体あってますが100%ではないです)があるのですが，それによると

(1)
(kX0sin(ωt))/(k-mω^2)
(2)
(kX0mω^2sin(ωt))/(k-mω^2)

となっています
どちらが正しいのでしょうか？
私は自分の解答の方が正しいと思うのですが積分定数が残っていていまいちしっくりこないところがあります
積分定数を含むような形になる時は初期条件を与えてくれると思うのですが．．．

他の年の過去問を解いていても積分定数が残ることが時々あり，積分定数を含むような固有振動数に対する解というのはこのような問題では示す必要がないのか？とも思ってきたりとちょっと混乱してきてしまったのでどなたか解説お願いします

eatern27 · Accepted Answer

>定常応答というのは十分時間が経過した時の応答ということですよね？
力学に限らず「定常」という用語は、「十分時間が経過した」ではなく「時間変化しない」という意味で使う用語です。
今回の質問では、周期的な入力を加えていますので、ある周期の応答とその次の周期の応答(従って、任意の周期の応答も)が一緒であるような応答の事を「定常応答」と呼びます。
ご質問の冒頭にある前者の式はこの条件を満たしていないので定常応答ではないのですね。

現実の系を想定する限り「十分時間が経過」すれば、いつかは「時間変化がなくなる」ので、
「十分時間が経過した時の応答」が定常応答であるという理解も正しいです。

>でもこの場合dx/dtに比例する項がないので0に収束しないのではないでしょうか？
確かにこのモデルでは0に収束はしませんが、
「十分時間が経過すれば定常応答になる」のは摩擦などの外乱によって理解されますので、
t→∞の極限で定常応答に収束させたいのであれば、摩擦などの外乱がある運動方程式を立ててその解を求める必要があります。
摩擦がない時を想定したい場合には、摩擦がある時を考えておいて最後に摩擦→0の極限をとるというような処理がよくやられます。摩擦がない場合をこう扱う事にしておけば、
>e^(-αt)(C1cos(Ωt)+C2sin(Ωt))
この式でt→∞の極限をとった後にα→0(摩擦→0)の極限をとる事になりますので、0に収束する事が確認できると思います。

>教科書をみると同次方程式の一般解の部分は時間とともに小さくなるということは書いてありましたが，これは数学的にどういう理由によるものなのでしょうか？

数学的には多分そうはならないと思いますが、物理的な理由としては、
「同次方程式の一般解の部分」は、外界からの入力(今の問題ならばね上端の振動)が無い時の解を表していますので、十分時間が経過すれば静止しなければいけません(でなければ永久機関が作れてしまう)。従って、このような十分時間が経過した時も扱いたいのであれば、t→∞の極限で静止する解しか持たない運動方程式を採用する事が要請されます。

>この場合でも定常応答というのは特解のことを指すのでしょうか？
初期条件の情報を含む項が残っているのなら「定常応答」とは呼べませんので、
定常応答が定義できる限り、特解が定常応答だと考えて問題ないはずです。

ただ、細かい事を言えば微分方程式の解(ご質問の式で言えばC1,C2に具体的な値を代入したもの)なら全て「特解」で、特解が定常応答という言い方は本当は適切ではないです。

eatern27 · Answer

「定常応答」として適切なのは後者ですね。(疑問点とは関係なさそうなのでsinの係数などが正しいかは調べてませんが)

※前者が定常応答でない理由が分からないのであれば、定常応答とは何か補足へ書いてください。

振動の問題について質問です

>定常応答というのは十分時間が経過した時の応答ということですよね？

「定常応答」として適切なのは後者ですね。

この回答への補足

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