大学の力学の問題を教えてください

質量mで半径がaの一様な球の直径回りの慣性モーメントは2ma^2/5である。
この球が重心速度vで接地面と滑らずに転がるときの運動エネルギーについて
重心速度vが関係するが球の半径によらないことを説明せよ。
という問題です。

これは高校の物理の考え方でも解けるでしょうか？
もしくは微分積分などを使わなければ解けないのでしょうか？
よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： Quarks 回答日時： 2012/08/11 23:44

>>球の表面の速さは、重心から見た床面の速さと同じだということです。

>>そしてこのことを、床との接点から見ると、球の重心が、　ｕ＝ａ・ω
>>で回転しているように見えるということです。
>の床の接点から見ると重心がuの速さで回転しているというところが
>ピンとこないのですがどのようなことなのでしょうか？
　
図を描いて見ると良くわかることが多いのです。問題を解くときには、図を描いて眺めてみる習慣を付けると良いですよ（量子力学の領域だと、図示することがほとんど無理なので、図が常に万能とは言えませんが、ニュートン力学なら、かなり強力な方法となります）。
　
添付図を見ながら読んで下さい。
　
Ｐは、球の表面の一点であると見ることもできますし、床の一点であると見ることもできます。添付図を見ればおわかりでしょう。
　
さて、Ｐ点を、Ｇから見ると　速さｖ＝ａ・ω　で右回転しているに見えます。
（ところで、図の瞬間、Ｐ点の速度は、明らかに球の接線方向ですから、床に平行な方向の速度です※。）
　
また、見る側から見られる側に立場を交換して見ると、Ｐ点から見て、Ｇ点は、点線で示した円（Ｐを中心とした半径ａの円周）の接線方向（図の右向きの速度ベクトルの向き）に進んでいるように見えるはずです。
　
※Ｇ点と、床面と球との接点とは、どの瞬間でも、常に同一鉛直線上に有りますから、Ｇから見た床の速度は、常に床に平行な方向だということになります。
　
こうして見ると、Ｇの速度と球と床との接点の速度（＝Ｇから見た床の速度）とは、同じ速さで、向きが逆なだけだということがわかるでしょう。
　
　
脱線しますが、ANo.3さんの解答は、指定されている解法の条件を満たしていないかも知れませんが、高校の物理の範囲でも理解できる、極めて優れた解（おそらく唯一の解）であることは間違いありません。出題者は、このような解答が出るのを予想して、わざと、条件を明示的に課したのでしょうか。

この回答へのお礼

図をつけてまでお答えいただきありがとうございます。
理解できました。

この問題は大学院の問題なのできっと慣性モーメントも
理解しているということを考えての問題なのだと思います。
きっと基本的な問題なのでしょうが物理が専門でないため
わからない部分もありました。

詳しく説明していただきありがとうございました。

お礼日時：2012/08/12 00:00

No.3 回答者： osaka-girl 回答日時： 2012/08/11 19:09

一番簡単な答え

運動エネルギー
＝（最初の高さの位置エネルギー）-（今の高さの位置エネルギー）
である（エネルギー保存則？）

この式に半径は登場しない

だから関係ないってのはだめかしら？？？

No.2 回答者： Quarks 回答日時： 2012/08/11 18:58

>高校の物理の考え方でも解けるでしょうか？

　
今の高校では、慣性モーメントや剛体の回転の運動エネルギーは習っていないはずですから、その意味では解けません。でも、その意味を付記するなら、解ける問題の範囲です。
　
>微分積分などを使わなければ解けないのでしょうか？
　
以下に解を載せますように、明示的には微積は使わなくても解けます。ただ、その根拠を遡れば、微積は不可避になります。
　
この場合の運動エネルギーは、
（１）並進の運動エネルギー＝重心(実質的には球の中心が重心ですね)の運動の運動エネルギー
（２）回転の運動エネルギー＝重心の周りの回転の運動エネルギー
の２つの和になります。
（１）重心が床に対して移動する速さをｖとすると、この並進運動の運動エネルギーは
　(1/2)ｍ・ｖ^2
（２）の運動エネルギー＝(1/2)Ｉ・ω^2　※
です。ωは重心の周りの回転の角速度です。
※　高校では、慣性モーメント Ｉ はもちろん、回転の運動エネルギーも習わないです。（２）はだから、高校生対象なら、このように表せるとしなさい、と断る必要があるでしょう。
　
さて、重心から見た、球の表面の回転の速さｕは
　ｕ＝ａ・ω
です。

　Ｉ＝(2/5)ｍ・ａ^2
でしたから（２）の運動エネルギーは
　(1/2)Ｉ・ω^2＝(1/2)・((2/5)ｍ・ａ^2)・ω^2
　＝(1/5)ｍ・(ａ・ω)^2
　＝(1/5)ｍ・ｕ^2
となります。
ａは消えてしまいました。あとはｕがａに依存しない量であることを示せば良いわけです。
　
ところで、床面と滑らずに回転しているということは、球の表面の速さは、重心から見た床面の速さと同じだということです。そしてこのことを、床との接点から見ると、球の重心が、　ｕ＝ａ・ω　で回転しているように見えるということです。
重心は床から一定の距離を保っているのですから、球の重心が、ｕ＝ａ・ω　で回転している、ということは、実は球の重心の、床と平行な方向への速さが　ｕ＝ａ・ω　であることを意味しています。
何のことはない、
　ｖ＝ｕ
になっているわけです。

こうして、球の運動エネルギーは
　(1/2)ｍ・ｖ^2＋(1/5)ｍ・ｕ^2
　＝(1/2)ｍ・ｖ^2＋(1/5)ｍ・ｖ^2
　＝(7/10)ｍ・ｖ^2
となって、ｖには依存しますが、半径ａには依存しないことがわかりました。

この回答へのお礼

詳しい説明ありがとうございます。

>球の表面の速さは、重心から見た床面の速さと同じだということです。そしてこのことを、床との接点から見ると、球の重心が、　ｕ＝ａ・ω　で回転しているように見えるということです。

の床の接点から見ると重心がuの速さで回転しているというところが
ピンとこないのですがどのようなことなのでしょうか？
たぶん私が力学をわかってないからだと思いますが。。

よろしくお願いします。

お礼日時：2012/08/11 21:53

No.1 回答者： osaka-girl 回答日時： 2012/08/11 18:39

速度ｖで動くと回転速度はどうなりますか？

半径が小さければ、回転速度は大きくなり
大きければ回速度数は小さくなります。
反比例するのですね。
一方回転慣性に回転速度の二乗を乗じて回転運動エネルギーを
出しますよね。
そうしてエネルギーの式を立てると回転慣性にあるa^2と
回転速度にある1/a^2によって、半径aが消えるでしょ！
だから関係しないのです。

この回答へのお礼

エネルギーの式はどのようなものですか？
知識がなくてすいません。。
よろしくお願いします。

またもう一つの回答ですが慣性モーメントを使わないといけないと思うので
解答としてはダメかもしれません。。

二回も回答ありがとうございます。

お礼日時：2012/08/11 21:57