逆ラプラス変換できますか？

http://www.ice.tohtech.ac.jp/~nakagawa/laplacetr …

でラプラス変換の勉強をしています。
その中で、

s/ (s^2 + （R / L) s + 1 / (L C))

を解こうと頑張っていたのですが、解けません。
私が解けないだけだと思っていたのですが、
http://www.ice.tohtech.ac.jp/~nakagawa/laplacetr …
を見ると、R/Lや1 / (LC)の値を決めてから解いているようです。

質問ですが、R、L、Cを記号のまま解くことはできますか？
どうぞよろしくお願いします。

No.1 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/08/12 08:48

　s^2 + (R L)s + {1/(LC)} = (s-s1)(s-s2)

と因数分解。

ふつうは、場合わけして説明してますね。
二重根 (実根) の場合を除けば、e^(s1*t) と e^(s2*t) の一次結合で表わせる。

二重根 (実根) の場合、無理ヤリ s1 → s2 の形へすればできそうだが、見た目が煩雑になるだけ？

　　　

No.2 回答者： Ae610 回答日時： 2012/08/12 08:50

L,C,Rが定数扱いと見なせるのであれば別に記号のままでも解けると思う・・・！

invL{s/{(s＋R/2L)^2＋(1/(LC)－R^2/4L)}}
= e^-(R/2L)t・{cos(ωt)－(R√C/√(4L－R^2))sin(ωt)}
(ω = √(4L－R^2)/(2L√C)と置いた)
係数部分の計算は一応検算してみて・・・！

No.3 回答者： cisim_body 回答日時： 2012/08/12 09:12

まず、二次方程式　S^2＋（Ｒ／Ｌ）ｓ＋１／（Ｒ＋Ｌ）　の解が必要です。

なので、その方程式の解をα、βとおいて、（ｓ－α）（ｓ－β）としてあげれば、

ｓ／（ｓ－α）（ｓ－β）

となるので、これを解けばいいでしょう。
たぶん、

Ａ／（ｓ－α）　＋　Ｂ／（ｓ－β）　ただし、Ａ＝α／（α－β）、Ｂ＝－β／（α－β）

となると思います。（検算してください）
後は、変換表を使えば大丈夫。

※α，βは、２次方程式の解の公式を使って解いてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/08/12 09:46

>質問ですが、R、L、Cを記号のまま解くことはできますか？

分母の極、つまり sの２次方程式
　s^2 + （R / L) s + 1 / (L C)=0
の解の種類によって場合分けしないと
記号のまま逆変換できません。

すなわち、以下の３つの場合に場合分けすれば、それぞれの　場合について
逆ラプラス変換ができるようになります。

(1) 判別式D=(R/L)^2 -(4/(LC))＞0の場合(異なる２実解α,β(>α)を持つ場合)
　R^2＞4L/Cの場合
　α=-(R+√(R^2-4(L/C)))/(2L),β=-(R-√(R^2-4(L/C)))/(2L)として
　F(s)=s/(s^2 +(R/L)s +(1/(LC)))=s/((s-α)(s-β))
　　=(β/(β-α))/(s-β) -(α/(β-α))/(s-α)
逆変換f(t)=(β/(β-α))e^(βt) -(α/(β-α))e^(αt) (t≧0)
これにα,βを代入すれば良いでしょう。

(2)判別式D=(R/L)^2 -(4/(LC))=0の場合(重解αを持つ場合)
　R^2=4L/Cの場合
　α=-R/(2L)として
　F(s)=s/(s+α)^2=1/(s-α) -α/(s-α)^2
逆変換f(t)=(1-αt)e^(αt) (t≧0)
これにαを代入すれば良いでしょう。

(3) 判別式D=(R/L)^2 -(4/(LC))＜0の場合
　R^2＜4L/Cの場合
　a=R/(2L),ω=√(4(L/C)-R^2))/(2L)として
　F(s)=(s+a-a)/{(s+a)^2 +ω^2)}
逆変換f(t)={cos(ωt)-a sin(ωt)}e^(at) (t≧0)
これにa,ωを代入すれば良いでしょう。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
お礼遅れてすみません。

場合分けすればできるんですね。大変参考になりました。

お礼日時：2012/08/31 06:28