問題の式を書くとややこしいので画像を添付しました。
【初期条件: y(0)=y0,y'(0)=y1】
画像の微分方程式について
(1) 変数変換 u=( x^2 + 2 )y を行って、uに関する微分方程式を導け
(2) (1)で導いた微分方程式を解くことで、元の微分方程式の解yを求めよ
(3) 【x→∞】lim y(x)を計算せよ また、【x→-∞】lim y(x)が存在するためのy0,y1の条件を求めよ
(1)の変数変換を行うときに
uを微分してu' u'' を出し
それらをy y' y'' の式に直して代入すればできると思うのですが
その変形がややこしすぎて何回やっても間違えてしまいます
そこで知識ある皆様のお力をお貸しいただければと思い質問しました。
何卒よろしくお願い致します。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
#1,#2です。
A#2の補足について
>y=u/(x^2+2)
>y'={(x^2+2)u'-2xu}/(x^2+2)^2 ← これは合っている。
>y''={u''-4(x^2+2)u'+2(4x-1)u)}/(x^2+2)^3 ← 間違い
>となりますか?
y'は合ってますが、y''が間違っています。
なので
>これを代入しても整理しきれる気がしません・・・
間違った式を代入しても整理できるはずがありませんね。
y''を計算すると
y''={(x^2+2)^2*u''-4x(x^2+2)u'+2(3x^2-2)u}/(x^2+2)^3
となるはずです。
このy''の式を使って、y,y',y''を与微分方程式に代入して整理して見てください。
途中の計算で計算間違いをしないようにチェックしながら計算願います。
(なお、小生は式の整理は数学ソフトを使って計算式を確認していますのでA#1の計算で間違いないと思います。)
整理すると
A#1の(1)のように 分子分母が約分できて
> u''+(1/2)u'=x ...(A)
と簡潔な式が出てきます。
何度も親切に対応して下さって、ありがとうございました。
整理できなくて悩んでいたのですが、きれいにまとめることが出来ました。
また、ベストアンサーを選ぶのが遅くなってしまって申し訳ありませんでした。
No.4
- 回答日時:
横レス失礼・・・!
(1) 変数変換 u=( x^2 + 2 )y を行って、uに関する微分方程式を導け
・・・というヒントがあるのでそのまま活用すればよいのではないだろうか・・!
u=(x^2+2)y
u' = (x^2+2)y'+2xy
u" = (x^2+2)y"+4xy'+2y
(x^2+2)y"+(x^2/2+4x+1)y'+(x+2)y = x
・・・の左辺を整理し直してみると
{(x^2+2)y"+4xy'+2y}+(1/2)・{(x^2+2)y'+2xy} = x
これより直ちに
u"+1/2u' = x
・・・が出せる・・・!
わざわざ分数関数にして微分をややこしくする必要はないと思う・・!
No.2
- 回答日時:
#1です。
(3)の後半を書き忘れましたので補足します。
(3)の後半
(2)より
> y(x)={4y1+2y0+8-4(y1+2)e^(-x/2)+x^2-4x}/(x^2+2)
lim(x→-∞)y(x)が存在する為には
e^(-x/2)の係数=-4(y1+2)=0、すなわち y1=-2であればよい。
このとき
lim(x→-∞)y(x)=lim(x→-∞) (2y0+x^2-4x)/(x^2+2)
=lim(x→-∞) (2x-4)/(2x)=2/2=1 (ロピタルの定理適用)
となって極限値1が存在する。
この回答への補足
ご回答ありがとうございます
しかしながら未だに(1)の計算が合いません
y=u/(x^2+2)
y'={(x^2+2)u'-2xu}/(x^2+2)^2
y''={u''-4(x^2+2)u'+2(4x-1)u)}/(x^2+2)^3
となりますか?
これを代入しても整理しきれる気がしません・・・
No.1
- 回答日時:
(1)
y=u/(x^2+2)を与微分方程式に代入すれば
u''+(1/2)u'=x ...(A)
が導出できます。
(2)
(1)の微分方程式(A)を解けば
u(x)=c1+c2*e^(-x/2)+x^2-4x
y=u(x)/(x^2+2)={c1+c2*e^(-x/2)+x^2-4x}/(x^2+2) ...(B)
【初期条件: y(0)=y0,y'(0)=y1】より
y(0)=(c1+c2)/2=y0
y'(0)=-(c2/4)-2=y1
c1,c2について解けば
c1=4y1+2y0+8,c2=-4y1-8
(B)に代入することにより
y(x)={4y1+2y0+8-4(y1+2)e^(-x/2)+x^2-4x}/(x^2+2)
(3)
lim(x→∞)y(x)=lim(x→∞)(4y1+2y0+8+x^2-4x}/(x^2+2)
=lim(x→∞) (2x-4)/(2x) =2/2=1
(ロピタルの定理適用)
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 物理学 量子力学 球面調和関数 導出 方位角成分 微分方程式の解 2 2022/07/02 13:40
- 数学 dx/dt=x-2y +e^t dy/dt=-3x +2y+1 初期値[1,0] [x,y] この連 3 2023/05/15 18:23
- 数学 常微分方程式論と偏微分方程式論 2 2022/04/03 22:35
- 高校 対数方程式につきまして 4 2022/05/05 07:55
- 数学 微分方程式の初期値問題 1 2022/07/28 16:40
- 数学 数学微分方程式の問題です。次に書く問題を教えて欲しいです。上端を固定された長さlの棒の先に質量mの質 2 2022/04/29 21:27
- 数学 数学微分方程式の問題です。次に書く問題を解いて欲しいです。お風呂の温度Tが下がっていく速度は、お風呂 2 2022/04/29 21:20
- 数学 連立微分方程式の解き方について 7 2022/12/16 13:39
- 数学 微分について教えてください 放物線y=x^2のx=1における微分係数を定義に従って求め、その点におけ 5 2023/04/16 15:38
- 物理学 移流熱拡散方程式の解き方 フーリエ変換 1 2022/08/15 15:25
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
【等式 x+2y+3y=12を満たす自然...
-
「この2式の辺々を掛けて」とあ...
-
x-1/x=1 の時、x^3-1/x...
-
逆元の計算方法
-
一次不定方程式について質問で...
-
微分 極値
-
整数問題2 (難題問題集より)
-
極限値が存在するための定数a,b...
-
数1の因数分解についてです。 ...
-
急ぎ目でお願いしますm(_ _)m ...
-
軌跡(媒介変数)
-
数学の問題が分からないです・・・
-
(高3)4元2次方程式がとけません。
-
数列
-
a-b=√3 ab=1 を...
-
x^2-7x+14-7/x+1/x^2=0の解につ...
-
数値代入法による恒等式の解説...
-
方程式2x+3y=33 を満たす自然数...
-
急いでいます 数学の問題
-
高一数学
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
逆元の計算方法
-
数値代入法による恒等式の解説...
-
「この2式の辺々を掛けて」とあ...
-
整式P(x)をx²+x+1で割ると余...
-
y=2x-1/x+1の逆関数を求めるも...
-
【等式 x+2y+3y=12を満たす自然...
-
数列について
-
連立方程式
-
代入法なのに、逆の確認をしな...
-
(高3)4元2次方程式がとけません。
-
極限値が存在するための定数a,b...
-
一次不定方程式の整数解のうち...
-
急ぎ目でお願いしますm(_ _)m ...
-
√(1+x)のテイラー展開のn...
-
β-α=√Dになる途中の計算の意味...
-
5x+7y=1の整数解を全て求めよ ...
-
証明です
-
arctanxをf(x)とし、そのn回微...
-
x^n-1を(x-1)^2で割った時の余り
-
方程式2x+3y=33 を満たす自然数...
おすすめ情報