No.1ベストアンサー
- 回答日時:
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=76142
の回答で shushou さんが書かれているように
(1) sin x / x = Π(n=1~∞) {1-x^2/(n^2 π^2)}
ですね.
右辺の無限乗積をばらして,x^2 の項を集めると
(2) Π(n=1~∞) {1-x^2/(n^2 π^2)}
= 1 - (x^2/π^2){1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ・・・ } + (x^4 以上の項)
になります.右辺第2項の{ }内がちょうどζ(2)です.
左辺をxで展開すれば
(3) sin x / x = 1 - (1/3!)x^2 + (x^4 以上の項)
ですから,(2)(3)で x^2 の項の係数を比べて
(4) ζ(2) = π^2/6
が得られます.
他には,Fourier 級数を利用する方法もあります.
(5) f(x) = x^2
を -1≦x≦1 で Fourier 展開すれば
(6) x^2 = 1/3 + (4/π^2) Σ(n=1~∞) {(-1)^n / n^2} cos(nπx)
になります.
(6)で x=1 とおくと,右辺のΣのところがちょうどζ(2)になって,
簡単に(4)が得られます.
同様に,x^4 の Fourier 級数展開から
(7) ζ(4) = π^4/90
がわかります.
なお,(7)は(2)の右辺で x^4 の項を調べても得られます.
の回答で shushou さんが書かれているように
(1) sin x / x = Π(n=1~∞) {1-x^2/(n^2 π^2)}
ですね.
右辺の無限乗積をばらして,x^2 の項を集めると
(2) Π(n=1~∞) {1-x^2/(n^2 π^2)}
= 1 - (x^2/π^2){1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ・・・ } + (x^4 以上の項)
になります.右辺第2項の{ }内がちょうどζ(2)です.
左辺をxで展開すれば
(3) sin x / x = 1 - (1/3!)x^2 + (x^4 以上の項)
ですから,(2)(3)で x^2 の項の係数を比べて
(4) ζ(2) = π^2/6
が得られます.
他には,Fourier 級数を利用する方法もあります.
(5) f(x) = x^2
を -1≦x≦1 で Fourier 展開すれば
(6) x^2 = 1/3 + (4/π^2) Σ(n=1~∞) {(-1)^n / n^2} cos(nπx)
になります.
(6)で x=1 とおくと,右辺のΣのところがちょうどζ(2)になって,
簡単に(4)が得られます.
同様に,x^4 の Fourier 級数展開から
(7) ζ(4) = π^4/90
がわかります.
なお,(7)は(2)の右辺で x^4 の項を調べても得られます.
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