非等速円運動

半径 r の円筒が、軸O（円筒の円の中心）を水平にして固定されている。
Aは円筒内面の最下点、軸Oと同じ高さの円筒内面の点で左側にあるのをB, 右側にあるのをD、Cは円筒内面の最上点とします。
点Aに質量ｍの小球を置き、水平左向に初速度vを与える。
重力加速度をgとし、小球と円筒内面との摩擦、空気抵抗は無視できるものとする。

√(2gr)＜v＜√(5gr)　のとき P は 弧BC(小さいほう)の間で円筒内面を離れ放物運動をする。
小球が円筒内面から離れる点をPとし、∠POC = αとします。
この小球がOを通るのはαとvはどのようなときか？

問題ではA、Dにくるときのを聞いていてキレイに求まったのですが
コレは綺麗な数値で出ますでしょうか？
点Oを原点にxy座標を取って（Pでの小球の速さをVとして）
x = Vtcosα - rsinα
y = Vtsinα - gt^2/2 + rcosα
で、未知数二つに式二つなので、解けるかなと思ったのですが、うまい具合にならないから手計算ではきれいには求まらないのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： tsukasa-12r 回答日時： 2004/02/01 04:38

Vt cosα - r sinα = 0

より
t = ( r sinα ) / ( V cosα )
これを
Vt sinα - gt^2/2 + r cosα = 0
に代入して
r sin^2α/cosα - gr^2 sin^2α/(2V^2 cos^2α) + r cosα = 0・・・(1)
ここまではよいですよね。
Ｐ点では、「遠心力＝重力のＰＯ方向の成分」
なので、
mV^2/r = mgr cosα
これより
V^2 = gr^2 cosα・・・(2)
これを (1) 式に代入してやれば cosα だけの方程式になります。( sin^2 = 1 - cos^2 を使用 )
cosαが求まるので、これを (2) に代入して V が求まります。
あとはエネルギー保存則と求められた V から、v が出てきます。

No.2 回答者： tsukasa-12r 回答日時： 2004/02/01 04:42

Vt cosα - r sinα = 0

より
t = ( r sinα ) / ( V cosα )
これを
Vt sinα - gt^2/2 + r cosα = 0
に代入して
r sin^2α/cosα - gr^2 sin^2α/(2V^2 cos^2α) + r cosα = 0・・・(1)
ここまではよいですよね。
Ｐ点では、「遠心力＝重力のＰＯ方向の成分」
なので、
mV^2/r = mgr cosα
これより
V^2 = gr^2 cosα・・・(2)
これを (1) 式に代入してやれば cosα だけの方程式になります。( sin^2 = 1 - cos^2 を使用 )
cosαが求まるので、これを (2) に代入して V が求まります。
あとはエネルギー保存則と求められた V から、v が出てきます。