滑車：全張力を未知数として数式で求めたいです。

Question

滑車に関する問題で張力についてよく疑問に感じてしまいまして、とても悩んでおります。
そこで、添付の図１の通り、一度すべての張力（Ta, Tb, Tc, Td)を未知として数式で全部求めることができるかどうか、試してみました。
しかしながら、すべての未知数を求めるのに方程式が足りず、ぜひアドバイス頂ければと思い投稿いたしました。
どうか宜しくお願い致します。

■9つの未知数： Ta, Tb, Tc, Td, 加速度a、角加速度α、摩擦力f, 滑車を支える力y軸方向 Fy,　x軸方向 Fx
■既知とするもの：Aの質量M、Bの質量m、滑車の半径r、滑車の慣性モーメントI = mr^2、糸の質量は無視

各物体について運動方程式を立てました。

(Aについて）
Ma = Mg – Td …..(1)

(Bについて）
ma = Ta – mg …. (2)

（滑車について）
上下方向の運動（静止）
0 = Fy – Tc – Tb …. (3)

左右方向の運動（静止）
0 = f – Fx …. (4)

回転
Iα = r (Tc – f – Tb) …. (5)

（角加速度と線加速度の関係）
rα = a …. (6)

（糸について 図2、3を参照下さい）
0 = Td – Tc  + f + Tb – Ta ….(7)
左辺の0は 「糸の質量x 加速度a」 = 0より

と、7つの方程式ができたのですが、９つの未知数を求めるのにあと二つ方程式が必要です。
また、以上の方程式の立て方で問題がある点があれば是非ご指摘頂きたくどうか宜しくお願い致します。

小さな細かいことだと思われますが、とても真剣に悩んでおります。
重ねましてどうか宜しくお願い致します。

masa2211 · Accepted Answer

質問文を解くだけなら、

足りない２式：
Ｔa＝Ｔb　Ｔc＝Ｔd。

式が違っているので変更：
0 = Td – Tc + f + Tb – Ta ….(7)　　を、　0 =  Tc + f + Tb
Iα = r (Tc – f – Tb) …. (5)　　　 を、　Iα＝-r f
0 = Fy – Tc – Tb …. (3)　　　　　　を、　0 = Fy – Tc – Tb – mg  (注：mは、滑車質量としてのm)

と置き換えれば、つじつまが合います。（指摘済事項。）

ただし、以下の仮定による計算となってしまいます。（ちょっと変だが、オカシイとも言いきれない。）
1.滑車の軸摩擦はゼロ。
2.滑車の質量はｍで、たまたま、錘Ｂの質量と等しい。
3.滑車の形状は円盤でなく、はずみ車（質量の大部分がリムに集中）に近い。

だから、
滑車の慣性モーメントI = mr^2　　は、　I = mk・r^2　（mkは滑車質量。）
の書き間違い（こう考えると、最小限修正（=物理モデル変更なし）でつじつまが合う）と思っていたところ、

＞No.1補足
＞滑車の質量を無視する、という物理の問題がよくありますが、それをご想定下さい。
＞この場合、慣性モーメントもゼロとなり、回答者様の上記の式によれば摩擦力はゼロとなります。
むきゅー。当初質問文に、慣性モーメントはゼロでないと明記。
補足が正しければ、当初質問文のI = mr^は、いったい何だったの？
そりゃない.....
慣性モーメントが不均衡の主成分なのか、軸摩擦がそれなのか、合計で考えるのかは、肝心な部分です。

あと、軸摩擦ですが、第一近似で計算するなら、f = 比例定数　* √（Fx＾2　＋　 Fy＾2）
http://1st.geocities.jp/f_master001/physics/html …
は、水平力ゼロなので、たまたま、垂直抗力になっただけです。
を与えているとしています。ここ

また、hitokotonusiさんの書いた、
【滑車に働くのは糸に働く摩擦力の反作用のみで糸の張力は働かない】
は、糸の運動速度と滑車の運動速度は同じ（両者の間で滑らない）という条件という意味です。
ここで滑った場合、条件が別。　駆動系なら滑る場合はアりですが、滑車なら、まあ滑りません。
勿論、軸摩擦は別の話であり、抗力に比例した力が発生。

hitokotonusi · Answer

>第一に疑問となるのが、回答者様の上記の式によれば摩擦力はゼロとなるので、
>摩擦にお仕事もなにもあったものではないだろうということでした。

そのとおりです。

前にも書いた記憶がありますが、慣性モーメントが0なら滑車の回転の運動エネルギーは0のまま変りませんから、糸の摩擦力は仕事をしません。したがって摩擦が働いているとしたら、軸の所です。

＞摩擦以外に糸は滑車に垂直抗力を及ぼしていると考えられそうですが、いかがでしょうか。

そのとおりです。
垂直抗力も働いており、そのベクトルとしての総和は軸にかかります。ご質問の図ではFx, Fyの反作用になります。
この力(と滑車に重さがあれば滑車の重力)は軸の支持反力Fx, Fyと釣り合って相殺されることが自明で滑車とおもりの運動に寄与しないなので、#1の回答では張力の水平成分のみを考えることで省略しています。

hitokotonusi · Answer

いろいろ中途半端に手を広げてるのが問題ですね。

右側のたれ下がっている糸を一つの質点系と考えるなら、その運動方程式は糸の全運動量をPabとして

dPab/dt = Tb - Ta (上向きを正)

糸の質量を無視するのであればPab=0なので左辺の微分も0になりTa = Tbは自明。
TaとTbの差を考慮するのなら糸の質量もちゃんと入れてください。

滑車に巻きついている糸の部分は位置によって張力も摩擦力も変わるので、位置を角度ででも指定することにすると糸の微小部分について運動方程式が

Δm dv(θ)/dt = -f(θ) + T(θ+Δθ) - T(θ)　[T(θ)は糸の張力の接線成分]

Δθごとに区切って角度に

θ0, θ1, ・・・，θN

と番号を打っていくことにすると

Δm dv(θ1)/dt = -f(θ1) + T(θ1) - T(θ0)
Δm dv(θ2)/dt = -f(θ2) + T(θ2) - T(θ1)
Δm dv(θ3)/dt = -f(θ3) + T(θ3) - T(θ2)
・・・・・
Δm dv(θ[N-1])/dt = -f(θ[N-1]) + T(θ[N-1]) - T(θ[N-2])
Δm dv(θN)/dt = -f(θN) + T(θN) - T(θ[N-1])

これを辺辺総和を取るとT(θ)が両端を残して消えてしまうので

ΣΔm dv(θi)/dt = -Σf(θi) + T(θN) - T(θ0)

糸の質量が無視できるなら左辺が0になるので

Σf(θi) = T(θN) - T(θ0) = Tc - Tb

となり、結局摩擦力の総和が張力の差に等しくなります。

滑車の回転については滑車が半径rの円板なので

I α　＝　Σr×f(θi) 
【滑車に働くのは糸に働く摩擦力の反作用のみで糸の張力は働かない】

となりますが円板の場合rが一定なので、糸の質量が無視できる場合は

I α　＝　r Σf(θi) = r (Tc - Tb)

※　当然ですが上の和はΔθ→0の極限で積分になります。

滑車： 全張力を未知数として数式で求めたいです。

質問文を解くだけなら、

>第一に疑問となるのが、回答者様の上記の式によれば摩擦力はゼロとなるので、

いろいろ中途半端に手を広げてるのが問題ですね。

この回答への補足

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