数学Ａ 正の約数はいくつあるか

数学Ａの問題で「１４４の正の約数はいくつあるか」という問題がありました。
解き方を習ったのですが、理屈が解らないのです...

１４４をまず因数分解する。
２の４乗×３の２乗と出てくる。
↑約数５つ↑約数３つ
５×３で答は１５

となるらしいのですが、何故４乗の約数が５つのなるのか（４つじゃないの？）と、なぜこう解けば答が出てくるのかさっぱり解りません...
教えてください！お願いします！

No.3 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2012/10/28 20:11

例えば，2^2 * 3 (=12)

(1+2+2^2)(1+3)を展開すると各項は全部12の約数であり
12の約数はこれ以外にない
これは何項あるかといえば
3*2 = 6項でしょう？

展開ってのは「すべての組合せを引っ張り出す」という特徴があるのを
逆手に取るのがポイント
(1+2+2^2)(1+3)を最後まで計算すると「約数の総和」がでてくる

分かりにくい場合は・・・文字で考える
たとえばa^2b
(1+a+a^2)(1+b)=1+b+a+ab+a^2+a^2b
右辺の各項がa^2bの「約数」になっているし
逆にa^bの約数はこの展開の各項以外にはない

この回答へのお礼

詳しくありがとうございました！

お礼日時：2012/10/28 22:10

No.2 回答者： suko22 回答日時： 2012/10/28 18:36

144＝（2＾4）*（3＾2）

約数は、
2＾0と3＾0または3＾1または3＾2との積→3個
2＾1と3＾0または3＾1または3＾2との積→3個
2＾2と3＾0または3＾1または3＾2との積→3個
2＾3と3＾0または3＾1または3＾2との積→3個
2＾4と3＾0または3＾1または3＾2との積→3個

よって、5*3＝15個

2の0乗から4乗の5項と、3の0乗から2乗の3項の組み合わせの数だけ約数があるということです。

この回答へのお礼

解りやすかったです！ありがとうございました！

お礼日時：2012/10/28 22:11

No.1 回答者： lastbouzu 回答日時： 2012/10/28 18:35

2の0乗=1があるから5つですね．

約数は素因数を何個ずつかけるかという組み合わせの数だけあるので，2を何個ずつと３を何個ずつ取るか(一つも取らない=0乗も含む)ということでその計算になります．

この回答へのお礼

なるほどですね...！ありがとうございました！

お礼日時：2012/10/28 22:11