三角関数で1゜の値の求め方

現在、三角関数を加法定理や作図から求めているのですが、0と3の倍数の角度しか求められません(>_<)

1゜や2゜の値を手計算で求めることは不可能なのでしょうか？

回答よろしくお願いしますm(_ _)m

No.7 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/11/08 20:24

>三角関数を加法定理や作図から求めているのですが、0と3の倍数の角度しか求められません(>_<)

>1゜や2゜の値を手計算で求めることは不可能なのでしょうか？

建部賢弘 (1664～1739) は、弦長 (1/2)*sin(x) を 1 度毎に小数点以下 11 桁まで計算した半弦表を作ったといいます。

下表は、1 deg の n 分の 1 の rad 値、sin(1 deg) と、そのテーラー級数を 3 次まで加算した値と誤差比率 (有効桁の限度) を示したもの。
一次近似でも、誤差比率はこの半分近くまで得られるようです。

　n　---　rad　------　sin　-----　sin(3次)　--- 誤差比率

　 1　 1.74533E-02　1.74524E-02　1.74524E-02　　-8E-10
　 2　 8.72665E-03　8.72654E-03　8.72654E-03　　-5E-11
　 4　 4.36332E-03　4.36331E-03　4.36331E-03　　-3E-12

ところで、肝心の所要桁数は？

　　

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/11/08 12:53

ちなみにですが, 作図から sin 1° の値を求めることは不可能です.

もちろん「作図」=「定規とコンパスのみを使って」という意味で.

No.5 回答者： kazo_jp 回答日時： 2012/11/07 20:10

ANo.2です。

　２つの方法の回答が出てきておもしろいですね。
　昨日は寝る前だったので、2°の場合を書かなかったので補足させて頂きます。
sin(2°)=0.034900
π/90=0.034906
１項目だけで、４桁目まで一致しています。
　ついでと言ったら何ですが、以前に教材用に作ったsinと級数のグラフを画像添付させて頂きます。画像では２桁一致していたら一致と見るような大きさだと思いますが、１項目だけで、結構大きな角度まで一致し、項数が増えるに従って、どんどん一致する範囲が広がることがわかるかと思います。

No.4 回答者： aries_1 回答日時： 2012/11/07 11:35

ANo.3です。

一応、sin3゜とcos3゜の求め方も書いておきます。
多少ややこしいので、図を書きながら読んでください。

1辺の長さが2の正五角形ABCDEにおいて対角線ADとCEの交点をFとすると以下の条件が成り立つ。
AE=ED=CD=2…(1)
∠AED=∠EDC=3π/5…(2)
これより、△AED≡△CDE
これと(1)より
∠EAD=∠ECD=∠DCE=∠EDA=π/5…(3)
(2)(3)より
∠AEF=∠AFE=2π/5
以上より△AED∽△EFD
ここでDF=xとおくと、
ED:DF=AD:EDより
x=-1+√5

次に△AFEにおいてAからEFに下ろした∠Aの2等分線の足をHとすると、
EH=HF=x/2=(-1+√5)/2
∠AHE=90゜
∠HAE=π/10=18゜
となる。
よって以下の等式が成り立つ。
sin18゜=EH/AE=(-1+√5)/4
sin^2(18゜)+cos^2(18゜)=1より、cos18゜の値も求められる。

また
sin18゜
=sin(15゜+3゜)
=sin15゜cos3゜+cos15゜sin3゜…(4)

cos18゜
=cos(15゜+3゜)
=cos15゜cos3゜-sin15゜sin3゜…(5)

ここで
sin15゜
=sin(45゜-30゜)
=sin45゜cos30゜-cos45゜sin30゜
=(√6-√2)/4…(6)
同様に
cos15゜=(√6+√2)/4…(7)

後は、(6)(7)を(4)(5)に代入し、2式を連立してsin3゜とcos3゜の値を求め、それを
sin3゜=3sin1゜-4sin^3(1゜)
cos3゜=4cos^3(1゜)-3cos1゜
に代入して計算するだけです。

No.3 回答者： aries_1 回答日時： 2012/11/07 01:38

3の倍数の角度なら求められるということは、sin3゜の値は求められますか？

それが出来るなら、下の式より求められるはずです。

以下、aは定数、角度は〇゜で表すものとする。

sin(3a)
=sin(a+2a)
=sin(a)cos(2a)+cos(a)sin(2a)
=sin(a){1-2sin^2(a)}+cos(a)*2sin(a)cos(a)
=sin(a)-2sin^3a+2sin(a){1-sin^2(a)}
=3sin(a)-4sin^3(a)
(↑三倍角の公式)
ここでa=1゜とすると、
sin3゜=4sin1゜-4sin^3(1゜)

cos1゜も同様に三倍角の公式より、
cos3゜=4cos^3(1゜)-3cos1゜

No.2 回答者： kazo_jp 回答日時： 2012/11/07 00:43

入るのであれば、πの値を使うというのは、「手計算で」という条件に入るでしょうか。

角度を°ではなく、ラジアン(radian)で表して、例えば１°＝π/180radとして、級数展開の式
sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-・・・・
cos(x)=1-x*x/2+x^4/4!-・・・・
に代入すれば、求められます。sin(1°)=0.0174524
と出てきますが、sinの級数展開の第１項目だけでπ/180=0.0174533
とかなり、正確に出てきます。４桁も数値が一致していれば正確に手計算で求められたと言えるのではないでしょうか。角度が大きくなると、１項目だけではだんだんつらくなりますが、２項目、３項目、・・・・と使えば、どんな角度でも出せますし、45°～90°はsinとcosの関係を使い、90°以降は0～90°の値を使って求めるつもりであれば、どんな角度でも手間ですが、手計算でも不可能ではないかと思います。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2012/11/07 00:20

１°=π/180(ラジアン)

sinxのテイラー展開を用いて

sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...

にx=π/180を代入してあとは計算するだけ。

sinxは非常に収束がよいので３ケタぐらいなら３項ぐらい計算すれば大丈夫です。

sin1°＝0.017452406

関数電卓を使うのが本も手軽でしょう。