三角形in三角形 証明

三角形ABCの内部に三角形A'B'C'があるときの次の証明がしたいです。

AB+BC+CA > A'B'+B'C'+C'A'

簡単そうに見えて解けませんでしたY(>_<、)Y

わかる方いらっしゃいましたらよろしくお願いします

No.1 回答者： aries_1 回答日時： 2012/11/07 13:13

三角形△ABCの内部に△A'B'C'があるので、明らかに

AB>A'B'、BC>B'C'、CA>C'A'
よって
AB+BC+CA>A'B'+B'C'+C'A'
[Q.E.D]

これで十分だと思います。

この回答へのお礼

自分も明らかだとは思うのですが…

お礼日時：2012/11/08 11:23

No.2 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2012/11/07 16:32

三角形ABCの各辺を平行移動させ、三角形A'B'C'の頂点に接するようにすると答えがでるかも。

この回答へのお礼

平行移動して比較する！この方法はもっともな答え方ですね☆

御回答ありがとうございました。

お礼日時：2012/11/08 11:29

No.3 回答者： sexy_violence 回答日時： 2012/11/07 19:11

No.1の「明らかに」は本当に明らかなのかというのがあります。

内部の「任意の」三角形に対してですよね？
内接円半径と面積の関係を使ったらどうでしょうか。

この回答へのお礼

それぞれの面積を仮として出してみたのですが相互関係を導くのが出来ませんでした

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2012/11/08 11:27

No.4 ベストアンサー 回答者： aries_1 回答日時： 2012/11/07 23:19

ANo.1です。

「明らかに」と言い切ってしまっていいのではないでしょうか？
不完全なら、三角形の面積で証明し直します。

△A'B'C'が△ABCの内部にあるということは、(△ABCの面積)＞(△A'B'C'の面積)…(1)が成立する。

AB=a,BC=b,CA=c
A'B'=a',B'C'=b',C'A'=c'とおきます。
また、
△ABCの面積をS
△A'B'C'の面積をS'
とします。

ここで、ヘロンの公式(←三角形の面積公式)を用いる。

2s=a+b+c…(2)とすると
S=√{s(s-a)(s-b)(s-c)}

2s'=a'+b'+c'…(3)とすると
S'=√{s'(s'-a')(s'-b')(s'-c')}

ここで(1)より
S＞S'
⇔√{s(s-a)(s-b)(s-c)}＞√{s'(s'-a')(s'-b')(s'-c')}…(*)
⇔s(s-a)(s-b)(s-c)＞s'(s'-a')(s'-b')(s'-c')
(↑(*)の両辺を二乗)

ここで、仮にs'≧sとするとs＞0、s'＞0より上の不等式は成立しない。

ゆえに
s＞s'
⇔2s＞2s'
これと(2)(3)より
a+b+c＞a'+b'+c'
⇔AB+BC+CA＞A'B'+B'C'+C'A'
よって示された。

この回答へのお礼

細かい証明回答も加えていただきありがとうございます!!

私も与式は明らかだと思いはしていたものの証明の仕方となると
どうも出来ませんでした。。。

このようにすれば証明されるのですね！ありがとうございました

お礼日時：2012/11/08 11:25