線形写像の定義は、
f(ax1+bx2)=af(x1)+bf(x2)を満たすです。
(1)f(x)=2x+1が線形写像でないことを示せ。
f(ax1+bx2)=af(x1)+bf(x2)より、
f(ax1+bx2)=2(x1+x2)+1=2(x1)+2(x2)+1
af(x1)+bf(x2)=(2(x1)+1)+(2(x2)+1)
よって、f(ax1+bx2)≠af(x1)+bf(x2)
とありました。
正しいでしょうか?
f(ax1+bx2)=af(x1)+bf(x2)より、
f(ax1+bx2)=2(ax1+bx2)+1=2(ax1)+2(bx2)+1
af(x1)+bf(x2)=(2a(x1)+1)+(2b(x2)+1)
よって、f(ax1+bx2)≠af(x1)+bf(x2)
では間違いでしょうか?
f(x)=2x+1における、2がaやbを表しているのでしょうか?
(2)f(x)=2(x+1)が線形写像でないことを示せ。
についてですが、f(x)=2x+2とすれば、示せるのですが、
f(x)=2(x+1)でも(1)の手順で示せるのでしょうか?
以上、ご回答よろしくお願い致します。
No.9ベストアンサー
- 回答日時:
>線形写像の定義から、 f(ax1)+f(bx2)=af(x1)+b(x2)は成り立ちますよね?
>ここは、問題ないと考えているのですが、どうなのでしょうか?
↓ この (※) の前半のこと?
>f(ax1)+f(bx2)=af(x1)+b(x2)=a(x1^2)+b(x2^2)・・・(※)
↓
(※) の前半は、f( ) にて変数の係数倍での線形性をチェックする等式です。
f(x)=x^2 についていえば、
左辺: f(ax1)+f(bx2) = (ax1)^2 + (bx2)^2
右辺: af(x1)+bf(x2) = a(x1)^2 + b(x2)^2
と不成立。よって、f(x)=x^2 は線形じゃないというのが結論。
>f(ax1)+f(bx2)==(ax1)^2+(bx2^)2 は明らかに間違いという認識で良いでしょうか?
↓
f(x)=x^2 の勘定としては「間違い」ない。
f( ) が線形なら右辺は af(x1)+b(x2) でなければならない。
(ax1)^2 + (bx2)^2 はそれと異なるから、f(x)=x^2 は線形じゃないという結論。
No.7
- 回答日時:
>同様に、f(x)=x^2について示す場合について、
>f(ax1+bx2)=(ax1+bx2)^2
>f(ax1)+f(bx2)=af(x1)+b(x2)=a(x1^2)+b(x2^2)・・・(※)
>(※)の部分ですが、
>f(ax1)+f(bx2)==(ax1)^2+(bx2^)2 として間違いなのでしょうか?
原題のチェック式の右辺を使う、
af(x1)+b(x2)=a(x1^2) + b(x2^2)
なので、(※) の後半 2 項が正しい。
f(ax1)+f(bx2) の勘定そのものに「間違い」は無いけれど、原題は f(ax1)+f(bx2) なる検証式を含んでおらず、題意に沿った結論には直結しないのでは?
この回答への補足
ご回答ありがとうございます。
線形写像の定義から、
f(ax1)+f(bx2)=af(x1)+b(x2)は成り立ちますよね?
ここは、問題ないと考えているのですが、どうなのでしょうか?
f(ax1)+f(bx2)==(ax1)^2+(bx2^)2
は明らかに間違いという認識で良いでしょうか?
以上、ご回答よろしくお願い致します。
No.6
- 回答日時:
蛇足。
>f(ax1+bx2)=af(x1)+bf(x2)を満たす
二つに分けて、
f(ax) = af(x)
f(x1+x2) = f(x1) + f(x2)
をそれぞれチェックしても良いわけですけど、テストだと点数を割り引く性悪なお方もいらっしゃる?
この回答への補足
ご回答ありがとうございます。
テストで原点されるかどうかはわかりませんが、
f(ax1+bx2) では、写像 f(x) = 2x+1 の x に ax1+bx2 を代入するのに、
af(x1)+bf(x2) では、af(x1) = a(2x1+1), bf(x2) = b(2x2+1) と個別に
代入する。
結局、xは(x1+x2)でもあって、x1,x2でもあることに違和感を感じて
しまいます。
ご回答よろしくお願い致します。
すいません。追加質問で申し訳ないのですが、
同様に、f(x)=x^2について示す場合について、
f(ax1+bx2)=(ax1+bx2)^2
f(ax1)+f(bx2)=af(x1)+b(x2)=a(x1^2)+b(x2^2)・・・(※)
(※)の部分ですが、
f(ax1)+f(bx2)==(ax1)^2+(bx2^)2
として間違いなのでしょうか?
以上、ご回答よろしくお願い致します。
No.4
- 回答日時:
>af(x1)+bf(x2)=a(2x1+1)+b(2x2+1)では、それぞれx1は2x1+1,x2は2x2+1となるのに、f(ax1+bx2)における、x1とx2は、(x1+x2)で、2x+1と表しています。
>x1とx2の表現の仕方が、f(x1+x2)とf(x1)+f(x2)で異なる事に違和感を 感じます。これは、なぜでしょうか?
要するに定義式の両辺を別々に、かつ「忠実に」勘定するだけ、なのです…。
左辺 f(ax1+bx2) では、写像 f(x) = 2x+1 の x に ax1+bx2 を代入、だから
2(ax1+bx2) + 1 …(*1)
とするしかない。
右辺 af(x1)+bf(x2) では、af(x1) = a(2x1+1), bf(x2) = b(2x2+1) と個別に勘定するしかない。
a*(2x1+1)+b*(2x2+1) = 2(ax1+bx2) + a+b …(*2)
「違和感を感じ」るのはナゼ?
>また、f(x)=2(x+1)は、
>f(ax1+bx2)=2((ax1+bx2)+1)
>af(x1)+bf(x2)=a(2(x1+1))+b(2(x2+1))
>として解けば良いでしょうか?
その通り!
No.2
- 回答日時:
>線形写像の定義は、f(ax1+bx2)=af(x1)+bf(x2)を満たすです。
>(1)f(x)=2x+1が線形写像でないことを示せ。
>f(ax1+bx2)=af(x1)+bf(x2)より、
>f(ax1+bx2)=2(x1+x2)+1=2(x1)+2(x2)+1
>af(x1)+bf(x2)=(2(x1)+1)+(2(x2)+1)
>よって、f(ax1+bx2)≠af(x1)+bf(x2) とありました。 正しいでしょうか?
論証手続きを再考してみて。
f(x)=2x+1 の右辺の x へ ax1+bx2 を代入。
2(ax1+bx2) + 1 …(*1)
また、定義式右辺 af(x1)+bf(x2) を勘定してみると?
a*(2x1+1)+b*(2x2+1) = 2(ax1+bx2) + a+b …(*2)
>よって、f(ax1+bx2)≠af(x1)+bf(x2)
…みたいだけど?
>f(x)=2x+1における、2がaやbを表しているのでしょうか?
写像 の 2 と a, b は別物。
定義式は、「任意の」a, b について成立たねばならんのです。
>(2)f(x)=2(x+1)が線形写像でないことを示せ。 についてですが、f(x)=2x+2とすれば、示せるのですが、f(x)=2(x+1)でも(1)の手順で示せるのでしょうか?
YES !
この回答への補足
ご回答ありがとうございます。
f(ax1+bx2)=2(ax1+bx2)+1
af(x1)+bf(x2)=a(2x1+1)+b(2x2+1)=2(ax1+bx2)+a+b
よって、
f(ax1+bx2)≠af(x1)+bf(x2)
ということですね。
af(x1)+bf(x2)=a(2x1+1)+b(2x2+1)では、
それぞれx1は2x1+1,x2は2x2+1となるのに、
f(ax1+bx2)における、x1とx2は、
(x1+x2)で、2x+1と表しています。
x1とx2の表現の仕方が、f(x1+x2)とf(x1)+f(x2)で異なる事に違和感を
感じます。これは、なぜでしょうか?
また、f(x)=2(x+1)は、
f(ax1+bx2)=2((ax1+bx2)+1)
af(x1)+bf(x2)=a(2(x1+1))+b(2(x2+1))
として解けば良いでしょうか?
以上、ご回答よろしくお願い致します。
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