No.4ベストアンサー
- 回答日時:
#1~#3です。
A#3の補足での問題修正後の計算
A#1の積分範囲を訂正すると
>y=log(x) (0≦x≦π/3)
>y'=1/x
s=∫[1,2]√(1+y'^2) dx
=∫[1,2]√(1+x^2)/x dx
=[√(x^2+1)-asinh(1/x)][1,2]
=asinh(1)-asinh(1/2)+√5 -√2
公式:asin(t)=ln(t+√(1+t^2))より
=ln(1+√2)-ln(1+√5)+ln(2)+√5 -√2
≒1.2220
となります。
No.3
- 回答日時:
#1,#2です。
(2)の途中計算の
>∫[0,2π]√(1+θ^2) dθ
の不定積分
∫√(1+θ^2) dθ
の途中計算については、次の過去の質問
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6953674.html
∫√(1+x^2) dx
での回答をご覧下さい。
また(2)の結果は
>=π√(1+4π^2) +(1/2)ln(2π+√(1+4π^2))
≒21.2562941482091…
と行った値になります。
なお、(1),(2)の関数のグラフを添付します。
青実線の(1)のy=log(x) (0≦x≦π/3)のグラフは、
x→0+でy→-∞となります(y軸が漸近線)ので曲線の長さは∞になることは明らかです。
黒実線の(2)のグラフは、図のような反時計回りのうずまき状の曲線(螺旋)になり、
x=θcosθ y=θsinθ (0≦θ≦2π)
の曲線の全長はA#1で求めた計算結果となり、数値に直せば約21.3となります。
この回答へのお礼
お礼日時:2012/12/10 15:26
丁寧な解説ありがとうございました。ちなみに(1)なんですが、問題間違えてました。正しくは(1≦x≦2)でした。本当にすみませんでした。
No.2
- 回答日時:
No.1
- 回答日時:
参考URLの曲線の長さの公式を使って計算すればいいでしょう。
教科書にも曲線の長さの公式は載ってるはずですから復習しておいて下さい。
(1)
問題合ってますか?
y=log(x) (0≦x≦π/3)
y'=1/x
s=∫[0,π/3]√(1+y'^2) dx
=∫[0,π/3]√(1+x^2)/x dx
=∞
(2)x=θcosθ y=θsinθ (0≦θ≦2π)
x'=cosθ-θsinθ, y'=sinθ+θcosθ
s=∫[0,2π]√(x'^2+y'^2) dθ
=∫[0,2π]√(x'^2+y'^2) dθ
=∫[0,2π]√(1+θ^2) dθ
= ... (途中計算はやってみて下さい)
=π√(1+4π^2) +(1/2)ln(2π+√(1+4π^2))
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 高校 数3 面積 4 2022/05/11 12:37
- 数学 写真の(3)の問題の解説の1行目についてですが、 ①なぜ、曲線Kの囲む図形は、cos(-θ)と表せる 5 2023/01/26 00:36
- 数学 極座標A(2,π/6)となる点を通り、OAに垂直な直線lの曲方程式を求めよ という問題を直交座標を利 1 2022/08/04 17:31
- 数学 大学数学の微積分の問題です。 曲線 y^2=x(logx)^2 x>0 y^2=0 x=0 のループ 1 2022/07/05 13:47
- 数学 θ=π/2 のまわりでの f(θ)=sinθ/cosθのローラン展開に関して 以外の「」の解答を頂き 13 2022/11/11 09:45
- 数学 「n≦-2の時 z≠π/2の時 g(z)=tan(z)(z-π/2)^(-n-1) z=π/2の時 22 2022/07/04 22:24
- 数学 θ=π/2 のまわりでの f(θ)=sinθ/cosθのローラン展開は f(θ) =sin(θ)/c 5 2022/10/29 21:02
- 数学 線形代数の行列についての問題がわからないです。 1 2022/07/18 17:46
- 数学 微分積分の曲率についての問題がわからないです。 4 2022/07/16 16:23
- 数学 tan(z)=h(z)/(z-π/2)から h(z)=-(z-π/2)cos(z-π/2)/sin( 2 2022/08/01 23:44
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
重積分の問題を教えてください。
-
1 / (x^2+1)^(3/2)の積分について
-
重積分について
-
y=cosx(0≦x≦π/2)のy軸周りの回...
-
1/5+4cosxの0→2πまでの積分で、...
-
数学
-
cosπ/2やcos0ってどのように求...
-
回答者どもがなかなか答えられ...
-
逆三角関数の方程式の問題です...
-
位相がよく分かりません。 cos(...
-
積分∫[0→1]√(1-x^2)dx=π/4
-
cos π/8 の求め方
-
複素数平面の問題
-
cosπ/10の値から、cos7π/...
-
数学の問題です。 写真の積分を...
-
数学IIIの積分の問題がわかりま...
-
数3の極限について教えてくださ...
-
∮ [0→1] arctanx dx の定積分を...
-
cos^2(x+π/4)=Σ(n=-∞から∞)Cn...
-
∫0→π/2 sin^2x dx
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
1 / (x^2+1)^(3/2)の積分について
-
数3の極限について教えてくださ...
-
重積分について
-
cos π/8 の求め方
-
1/(sinx+cosx)の積分
-
y=cosx(0≦x≦π/2)のy軸周りの回...
-
cosπ/2やcos0ってどのように求...
-
cosx<0(0≦x≦2π)の範囲を教えて...
-
位相がよく分かりません。 cos(...
-
∫[0→∞] 1/(x^3+1)dx
-
1/5+4cosxの0→2πまでの積分で、...
-
複素数のn乗根が解けません
-
重積分の変数変換後の積分範囲...
-
arccos0の値ってなぜπ/2なんで...
-
この1/2はどこからでてきました...
-
逆三角関数の方程式の問題です...
-
複素数の偏角
-
数学の証明問題です。
-
∮ [0→1] arctanx dx の定積分を...
-
重積分の問題を教えてください。
おすすめ情報