高校物理 力学の問題

下図に示すように互いに反対方向に毎秒n回の等速回転をしている半径rの2つの円筒がある。それらは同じ高さで、軸を水平かつ互いに並行におかれている。その中心距離を2Lとする。いま、この上に質量Mの長い一様な棒を両円筒軸に直角に載せた。棒の中心Gが円筒間の中心Oに一致するように載せた場合、棒は動かなかったが、それ以外の場合、棒は左右に振動した。この振動はP,Q点における棒と円筒間の動摩擦係数の大きさによって違ったものとなることが知られており、振動周期を測定することによって簡単に動摩擦係数を求める実験方法として用いられることもある。以下においてこの棒の運動を考えてみよう。なお棒の運動は円筒軸に直角方向に限定され、その重心GはP,Q点より外に出ないものとする。
図のようにx軸の向きを決める。ある時刻において棒の重心GはO点からxの位置にあるものとする。このとき、P,Q点において棒に作用する抗力をそれぞれRp,Rq,重力加速度をgとすると、Rp=Mg(L-x)/2L,Rq=Mg(L+x)/2L。棒と円筒間の動摩擦係数をμとすると、棒に作用するxの正の向きの力Fは、F=-μMgx/Lとなる。棒の加速度をaとすると棒の運動方程式はMa=-μMgx/Lと表せるから、棒は周期T=2π√(L/μg)の単振動をしていることがわかる。
つぎに、棒の速度と変位について考えよう。棒の重心Gが右向きにOを通過した瞬間の速度をVとすると、それからt秒後のGの速度v=Vcos{√(μg/L)t}、従って変位x=V√(L/μg)sin{√(μg/L)t}と表される。このときP,Q点における棒の円筒表面に対する相対速度をvp,vqであらわすと、vp=v-2nπr,vq=v+2nπr。
精密な実験によると、動摩擦係数μは相対速度が大きくなると、それに伴って小さくなることが明らかにされている。この事実と上の結果を考慮すると棒の振幅は時間とともに{大きくなる・変わらない・小さくなる}。

{ }のなかで適当なものを理由と共に教えてください。

自分の考え↓
振幅=V√(L/μg)より、μが小さくなると振幅は大きくなる。
十分時間がたったとき、lim[t→∞]vp,lim[t→∞]vq は発散するので相対速度は大きくなるか小さくなるか判断できない。

No.2 ベストアンサー 回答者： yokkun831 回答日時： 2012/12/11 13:19

>振幅=V√(L/μg)より、μが小さくなると振幅は大きくなる。

これは的外れだと思います。μはPにおいてQより大きくなる…ということですね。

予定の振動中心で加速されるのだから，振幅が大きくなるのはあたりまえではないでしょうか？

次のような簡単なモデルで考察します。

平均の相対速度における摩擦係数をμoとし，
P点の摩擦係数　μp = μo + α
Q点の摩擦係数　μq = μo - α
とおくと，右に動いているとき
F = μpRp - μqRq
　=　-μoMg/L・(x - Lα/μo)
となり，振動中心がLα/μoだけずれます。

もちろん，実際は上記はモデルに過ぎず，μoやαが定数とも限りませんが，原点で加速され振動中心が進行方向へずれるということは確かでしょう。左に動くときはこれが逆になるので，振幅は増加することになると思います。これはちょうど摩擦のある面での単振動の減衰（振動中心が進行後方にずれる）を逆にしたようなものになるのではないでしょうか。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2012/12/15 15:36

No.3 回答者： muneneko 回答日時： 2012/12/11 16:16

すいません；

物体の運動を頭の中で想像するときに

>動摩擦係数μは相対速度が大きくなると、それに伴って小さくなる

を勘違いしてイメージしていました；


棒が左に運動するときを考えれば、Qは相対速度が小さく(Qと棒の間の動摩擦係数が大きく)、Pは相対速度が大きく(Pと棒と間の動摩擦係数が小さく)なるので、♯2さんの通り中心Oでは運動方向に加速されるし、

右方向の場合も同様に中心Oで運動方向に加速されるので、大きくなりますね。

申し訳ないです；

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2012/12/15 15:34

No.1 回答者： muneneko 回答日時： 2012/12/11 11:46

時間とともに振幅が小さくなるということは、t→∞で振幅が0、つまり棒が静止するということだと思います。

しかし、重心Gの速度v = Vcos{√(μg/L)t}ですが、これはt→∞において0に収束しない(振動)ので、これは考えにくいです。

時間とともに振幅が大きくなると言うことは、t→∞で振幅が無限大、つまり振幅V√(L/μg)が無限大に発散する必要があります。
このためにはμ→0になる必要がありますが、vp、vqはそれぞれt→∞において、発散しない(振動)ので有限の値しか持ちません。なので、μ→0になるとは考えられないので、時間とともに振幅が大きくなるとは考えにくい。

なので、変わらない。

だと思います。

この回答への補足

すいません。答えを書くのを忘れていました。
答) 大きくなる
理由:棒の進行方向側の摩擦力が小さくなり、|F|が小さくなるから。

答えと全く矛盾する自分の考え↓
棒の進行方向を図の右向きとすると、進行方向側の摩擦力=Rq=Mg(L+x)/2Lより、摩擦力は棒が進むにつれて(時間が経つにつれて)大きくなり、進行方向が左でも同じことが言えると思います。
Fはxの関数で、xは有限の値の間を振動するので、Fが小さくなる(ある値に収束する)ことはないと思います。
解説お願いします。

補足日時：2012/12/11 13:05