面積がわからず困っています。教えてください。
上部の直径が3m、下部の直径が6mで、高さが60mの煙突の表面積の面積の求め方を教えてください。

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A 回答 (7件)

煙突の「内側」(と上面の縁)も計算に入れるとすれば,他の方もご指摘の通り,


厚みが必要になりますが,「外側」の面積だけわかれば後は簡単なので外側の面
積について書いてみます.

文章だけではわかりにくいと思いますので,図を書きながら見てくださいね(^ ^)

これは,大きな円錐の先のとがった方の一部(これもまた円錐ですね)を切り取
ったものですから,大きい円錐の側面積から小さい円錐の側面積を差し引いたも
のになりますね.(ただし,煙突なので底部の面積が含まれないことに注意した
ほうがいいですね

ます,大きな円錐を考えます.円錐の側面積は,それを切り開いた扇形の面積を計
算すれば求められます.

今,扇形の円弧の長さLは煙突下部の円の円周に等しいですから,円周率πを用いて

L = 2*π*(6/2) = 6π

一方,扇形の半径をRとすると(Rは計算しなくてはならないのですが,面倒なので
最後にします)半径Rの円周(つまり,扇形は円の一部ですが,その扇形の元の円の
円周)Mと面積Sは

M = 2πR
S = πR^2 (^2は2乗の意)

元の円周が2πRで,その一部である扇形の円周が6πなのですから,扇形の面積Tは

T = S*(L/M) = 3πR

次に,小さい円錐を考えます(基本的に上と同じように考えていきます).
展開した扇形は,煙突上部の円の円周に等しいので

L' = 2*π*(3/2) = 3π

扇形の半径は,大きい扇形の半分,すなわちR/2になります.なぜなら,大きい扇
形と小さい扇形は相似で,小さい扇形底部の直径が大きい扇形のそれの半分(つま
り,煙突上部の直径が煙突下部の直径の半分になっているからですしたがって,
この扇形の元になっている円の円周と面積は

M' = 2π(R/2) = πR
S' = π(R/2)^2 = (πR^2)/4

上と同様に考えて,扇形の面積T'は,

T' = S'*(L'/M') = 3πR/4

したがって,求める面積は

T-T' = 3πR-3πR/4 = 9πR/4

ここで,Rを計算します.
大きな円錐の高さは小さな円錐の高さの倍(上で述べた大小扇形の半径と同じよう
に考えます)ですから,120 mです.円錐を真横から見ると2等辺三角形に見えます
がそれを縦に半分に切った直角三角形を考えると,底辺が3m(煙突底部の直径の半
分ですネ)高さが120 mですから,ピタゴラスの定理により,斜辺は

√(3^2+120^2)=√14409

で,これが求める扇形の半径Rになります

したがって,求める面積は,


9π√14409/4

だいたい,848 m^2

になるのではないでしょうか?ざっとやったのでミスがあるかもしれませんが....
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この回答へのお礼

質問に回答してくださり、大変ありがとうございます。助かりました。

お礼日時:2001/05/21 22:17

NO4のbrogieです。

円錐の面積のところで、円錐の体積の公式と間違って書きました。
皆様に、お詫び申し上げます。S = A*h/3 は体積でした。
回答は、皆様にお任せいたしたす。(冷や汗たらたら)
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私なら、こうしたい。

基本的には、No.1 yanron の解法です。
■ 求める面積は、等幅図形(=広義台形)なので台形の面積が使えます。
上底=3×π
下底=6×π
高さ=√(1.5^2+60^2)=√3602.25
面積=(3×π+6×π)÷2×√3602.25
  =4.5×π×√3602.25
  ≒848.06(m^2)

------------------------------------------------------------------------
No.5 煙突の「内側」(と上面の縁)も計算に入れるとすれば,他の方もご指摘の通り,
厚みが必要になりますが,「外側」の面積だけわかれば後は簡単なので外側の面
積について書いてみます.
■ うまい表現ですね。うまく、質問者を補足しています。あとの解法も優れています。
ただ、親切が過ぎて、長くてかえって分かりにくいような気も少しします。
 
-------------------------------------------------------------------------
No.4 No3の回答者が書かれているように、展開すると扇型です。
扇型は円錐を途中から切り取り、下側の部分です。
上の半径が3m、下の半径が6m(上の半径の2倍)、高さが60mですから、
これを延長して円錐を作ると、高さも2倍になりますから、60m*2=120mです。
円錐の面積Sは S = A*h/3 ただし、A=円錐の底面積、h=円錐の高さ
■ 上の半径が3m、下の半径が6m、半径でなく直径でしたよ。
円錐の面積Sは S = A*h/3 ただし、A=円錐の底面積、h=円錐の高さ ではなく
円錐の体積Vは V = A*h/3 ただし、A=円錐の底面積、h=円錐の高さ ですね。

----------------------------------------------------------------------------
No.3 つまり、高さ120m底Φ6mの円錐から高さ60m底Φ3mの円錐を
引き、Φ3mとΦ6mの円を足すということですね。
(円錐の表面積の求め方はおわかりでしょう。)
ちなみに台形ではなく、扇形ですね。似てるけど。
回答者:usu-usu
■ Φ3mとΦ6mの円はたさないのでは?
たすならば、「煙突」ではなく、ずばり、「円錐台」の表面積ということになります。
「図形の性質」という観点から見ると、台形と扇形は違う形ですが
「図形の計量」という観点から見ると、三角形(上底が0の台形)、平行四辺形、扇形も
      広義の台形と見られます。


--------------------------------------------------------------------
No.2 煙突の厚みは?
無いものとして(つまり紙を丸めたようなものとして)考えるんでしょうか?
回答者:sesame
■ そうでしょうね。

---------------------------------------------------------------------
No.1 円筒を切り開いて台形にして考えては?
回答者:yanron
■ 大変良い考えだと思います。台形というより、等幅図形(=広義台形)といった方が
通りがよかったかも。
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この回答へのお礼

質問に回答してくださって、ありがとうございます。大変助かりました。

お礼日時:2001/05/21 22:15

No3の回答者が書かれているように、展開すると扇型です。


扇型は円錐を途中から切り取り、下側の部分です。

上の半径が3m、下の半径が6m(上の半径の2倍)、高さが60mですから、これを延長して円錐を作ると、高さも2倍になりますから、60m*2=120mです。

円錐の面積Sは S = A*h/3 ただし、A=円錐の底面積、h=円錐の高さ

高さ120mの円錐の表面積を求めると(A=3.14*6^2、 h=120)

 S1 = (3.14*6^2)*120/3

円錐の上の部分の面積を求めると(A=3.14*3^2、 h=60)

 S2 = (3.14*3^2)*60/3

となりますから

 求める煙突の表面積Sは

 S = S1- S2

となります。
計算はご自分でして下さい。
ご成功を祈ります。
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つまり、高さ120m底Φ6mの円錐から高さ60m底Φ3mの円錐を


引き、Φ3mとΦ6mの円を足すということですね。
(円錐の表面積の求め方はおわかりでしょう。)

ちなみに台形ではなく、扇形ですね。似てるけど。
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煙突の厚みは?


無いものとして(つまり紙を丸めたようなものとして)考えるんでしょうか?
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円筒を切り開いて台形にして考えては?

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基本的にFF式の排気口はストーブ設置位置の真後ろ近辺にあり
煙突用の穴は壁の上部にあります。
これは煙突式ストーブの煙突がストーブの上部にある事と
煙突の仕組みが温まった排気熱の上昇する力を使って
ストーブの吸排気を行う物なので、出来るだけストーブから
上部に煙突を伸ばした方がストーブを点火した際にすぐ排気力を得られて安全、という仕組みがあります。

なので、もしFF式の排気口が壁の低い位置にあり
煙突式ストーブの煙突を室内部分で下に下げる様な細工が必要でしたら
色々な意味での危険があるので、そのFF用の排気口を無理に使用しない方が安全です。

節約やエコを考える事も重要ですが
一番大切なのは健康と安全だと思うので
煙突用の穴が無いのであれば、もうそのストーブは手放して
FF式のストーブを購入するという選択も良いのではないかと思います。
どうしても煙突用ストーブを愛用したいと言うのであれば
壁の上部に新たに穴を開ける必要があるので
それらの工事が出来る所を探してストーブの設置をしてください。

煙突というのは、はめ込み式で煙突を延長させる為、上昇気流が出来難い煙突配置にすると
点火初期の時に排気がうまくいかなくなり、煙突の隙間から煙が出たり
一酸化炭素などが漏れ出してとても危険でもあるので
上昇気流がうまれにくい煙突配置にはくれぐれも注意してください。

基本的にFF式の排気口はストーブ設置位置の真後ろ近辺にあり
煙突用の穴は壁の上部にあります。
これは煙突式ストーブの煙突がストーブの上部にある事と
煙突の仕組みが温まった排気熱の上昇する力を使って
ストーブの吸排気を行う物なので、出来るだけストーブから
上部に煙突を伸ばした方がストーブを点火した際にすぐ排気力を得られて安全、という仕組みがあります。

なので、もしFF式の排気口が壁の低い位置にあり
煙突式ストーブの煙突を室内部分で下に下げる様な細工が必要でしたら
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Aベストアンサー

こんにちは。
次のような回答ではいかがでしょう。

ご質問を少々変形すると、「熱気球やヘリウム入り風船は上からの圧力も下からの圧力も受けている。なのになぜ浮力(下から上への力)として見えるのか」と同等になります。これは#1さんの回答にもあるとおり、ずばり、高さによる空気圧の差です。

風船の下の端と上の端では高さがわずか20cmしか違いませんが、重力により引き寄せられている空気の圧力は明確に異なり、風船の下端で発生している圧力(上下左右どの方向にも働くが、風船の下面では上向きだけ働く)に比べて、上端で働いている圧力(これも上下左右どの方向にも働いているが、風船上面では下向き)は少々小さく、その差の分が「浮力」になります。
(一般に、浮力とは、空気に取り囲まれた(水に沈めた)物体の体積に相当する空気(水)の重さに等しいと言われているのはご存じでしょうか。まさにこれが「重さの分の圧力の差」に相当します。特に水は空気より大変重いため、上下での圧力差も大きく、浮力も大きくなります)

 このような物体の移動(上昇)が起きると、その空間の分の空気が回りから流れ込んで来ます。もちろん、たき火のような裸火でもこの流れが発生しますが、裸火では上昇する空気が回りの冷たい空気と混ざって拡散しやすく、また、流れ込む空気の位置も一定しません。

その点、煙突では熱気が拡散しにくく、また冷えにくく、いわば、ひょろ長く大きな風船が上昇しているのと同等で大きな浮力があるほか、その風船(熱気のかたまり)がシリンダーの中のピストンのようにはたらき、空気を吸い上げる働きを煙突の下端に集中する点でも、ただの上昇気流以上に吸い込み気流をもたらす効果が得られます。
(煙突が高いほど吸い出し力が強いのは、いわば、より大きな風船によるより大きな浮力・・・と考えていただくのが良いかと。)

もちろん、他の方の回答にもあるとおり、連続して上昇することでの慣性力や加速、横風による吸い出し効果や上下の圧力差も無視はしにくいでしょうが、とりあえず、ご質問のポイントで回答してみました。

お役に立てば幸いです。

こんにちは。
次のような回答ではいかがでしょう。

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従って、X=20+10√(2)はあり得ず、残ったX=20-10√(2)が正解となります。

すなわち、
 台形の上底=20-X=20-20+10√(2)=10√(2)
 台形の高さ=20-10√(2)
となります。


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