煙突の面積を教えてください

面積がわからず困っています。教えてください。
上部の直径が３ｍ、下部の直径が６ｍで、高さが６０ｍの煙突の表面積の面積の求め方を教えてください。

No.5 ベストアンサー 回答者： bear_san 回答日時： 2001/05/20 12:01

煙突の「内側」（と上面の縁）も計算に入れるとすれば，他の方もご指摘の通り，

厚みが必要になりますが，「外側」の面積だけわかれば後は簡単なので外側の面
積について書いてみます．

文章だけではわかりにくいと思いますので，図を書きながら見てくださいね(^ ^)

これは，大きな円錐の先のとがった方の一部（これもまた円錐ですね）を切り取
ったものですから，大きい円錐の側面積から小さい円錐の側面積を差し引いたも
のになりますね．（ただし，煙突なので底部の面積が含まれないことに注意した
ほうがいいですね

ます，大きな円錐を考えます．円錐の側面積は，それを切り開いた扇形の面積を計
算すれば求められます．

今，扇形の円弧の長さLは煙突下部の円の円周に等しいですから，円周率πを用いて

L = 2*π*(6/2) = 6π

一方，扇形の半径をRとすると（Rは計算しなくてはならないのですが，面倒なので
最後にします）半径Rの円周（つまり，扇形は円の一部ですが，その扇形の元の円の
円周）Mと面積Sは

M = 2πR
S = πR^2 （^2は２乗の意）

元の円周が2πRで，その一部である扇形の円周が6πなのですから，扇形の面積Tは

T = S*(L/M) = 3πR

次に，小さい円錐を考えます（基本的に上と同じように考えていきます）．
展開した扇形は，煙突上部の円の円周に等しいので

L' = 2*π*(3/2) = 3π

扇形の半径は，大きい扇形の半分，すなわちR/2になります．なぜなら，大きい扇
形と小さい扇形は相似で，小さい扇形底部の直径が大きい扇形のそれの半分（つま
り，煙突上部の直径が煙突下部の直径の半分になっているからですしたがって，
この扇形の元になっている円の円周と面積は

M' = 2π(R/2)　= πR
S' = π(R/2)^2 = (πR^2)/4

上と同様に考えて，扇形の面積T'は，

T' = S'*(L'/M') = 3πR/4

したがって，求める面積は

T-T' = 3πR-3πR/4 =　9πR/4

ここで，Rを計算します．
大きな円錐の高さは小さな円錐の高さの倍（上で述べた大小扇形の半径と同じよう
に考えます）ですから，120 mです．円錐を真横から見ると2等辺三角形に見えます
がそれを縦に半分に切った直角三角形を考えると，底辺が3m（煙突底部の直径の半
分ですネ）高さが120 mですから，ピタゴラスの定理により，斜辺は

√（3^2+120^2）=√14409

で，これが求める扇形の半径Rになります

したがって，求める面積は，


9π√14409/4

だいたい，848 m^2

になるのではないでしょうか？ざっとやったのでミスがあるかもしれませんが....

この回答へのお礼

質問に回答してくださり、大変ありがとうございます。助かりました。

お礼日時：2001/05/21 22:17

No.7 回答者： brogie 回答日時： 2001/05/20 15:39

NO４のbrogieです。

円錐の面積のところで、円錐の体積の公式と間違って書きました。
皆様に、お詫び申し上げます。S　＝　A＊ｈ／３　は体積でした。
回答は、皆様にお任せいたしたす。（冷や汗たらたら）

No.6 回答者： good777 回答日時： 2001/05/20 13:26

私なら、こうしたい。

基本的には、No.1 yanron の解法です。
■　求める面積は、等幅図形（＝広義台形）なので台形の面積が使えます。
上底＝3×π
下底＝6×π
高さ＝√（1.5＾2+60＾2）＝√3602.25
面積＝（3×π+6×π）÷2×√3602.25
　　＝4.5×π×√3602.25
　　≒848.06(m＾2)

------------------------------------------------------------------------
No.5 煙突の「内側」（と上面の縁）も計算に入れるとすれば，他の方もご指摘の通り，
厚みが必要になりますが，「外側」の面積だけわかれば後は簡単なので外側の面
積について書いてみます．
■　うまい表現ですね。うまく、質問者を補足しています。あとの解法も優れています。
ただ、親切が過ぎて、長くてかえって分かりにくいような気も少しします。
　
-------------------------------------------------------------------------
No.4 No3の回答者が書かれているように、展開すると扇型です。
扇型は円錐を途中から切り取り、下側の部分です。
上の半径が３ｍ、下の半径が６ｍ（上の半径の2倍）、高さが６０ｍですから、
これを延長して円錐を作ると、高さも2倍になりますから、６０ｍ＊２＝１２０ｍです。
円錐の面積Sは　S　＝　A*h/3　ただし、A=円錐の底面積、ｈ＝円錐の高さ
■　上の半径が３ｍ、下の半径が６ｍ、半径でなく直径でしたよ。
円錐の面積Sは　S　＝　A*h/3　ただし、A=円錐の底面積、ｈ＝円錐の高さ ではなく
円錐の体積Ｖは　Ｖ　＝　A*h/3　ただし、A=円錐の底面積、ｈ＝円錐の高さ ですね。

----------------------------------------------------------------------------
No.3 つまり、高さ120m底Φ6mの円錐から高さ60m底Φ3mの円錐を
引き、Φ3mとΦ6mの円を足すということですね。
(円錐の表面積の求め方はおわかりでしょう。)
ちなみに台形ではなく、扇形ですね。似てるけど。
回答者：usu-usu
■　Φ3mとΦ6mの円はたさないのでは？
たすならば、「煙突」ではなく、ずばり、「円錐台」の表面積ということになります。
「図形の性質」という観点から見ると、台形と扇形は違う形ですが
「図形の計量」という観点から見ると、三角形(上底が０の台形)、平行四辺形、扇形も
　　　　　　広義の台形と見られます。


--------------------------------------------------------------------
No.2 煙突の厚みは？
無いものとして（つまり紙を丸めたようなものとして）考えるんでしょうか？
回答者：sesame
■　そうでしょうね。

---------------------------------------------------------------------
No.1 円筒を切り開いて台形にして考えては？
回答者：yanron
■　大変良い考えだと思います。台形というより、等幅図形（＝広義台形）といった方が
通りがよかったかも。

この回答へのお礼

質問に回答してくださって、ありがとうございます。大変助かりました。

お礼日時：2001/05/21 22:15

No.4 回答者： brogie 回答日時： 2001/05/20 11:27

No3の回答者が書かれているように、展開すると扇型です。

扇型は円錐を途中から切り取り、下側の部分です。

上の半径が３ｍ、下の半径が６ｍ（上の半径の2倍）、高さが６０ｍですから、これを延長して円錐を作ると、高さも2倍になりますから、６０ｍ＊２＝１２０ｍです。

円錐の面積Sは　S　＝　A*h/3　ただし、A=円錐の底面積、ｈ＝円錐の高さ

高さ１２０ｍの円錐の表面積を求めると（A=3.14*6^2、　ｈ＝120）

　S1　＝　（3.14*6^2)*120/3

円錐の上の部分の面積を求めると（A=3.14*3^2、　ｈ＝60）

　S2　＝　(3.14*3^2)*60/3

となりますから

　求める煙突の表面積Sは

　S　＝　S1－　S2

となります。
計算はご自分でして下さい。
ご成功を祈ります。

No.3 回答者： noname#494 回答日時： 2001/05/20 10:40

つまり、高さ120m底Φ6mの円錐から高さ60m底Φ3mの円錐を

引き、Φ3mとΦ6mの円を足すということですね。
(円錐の表面積の求め方はおわかりでしょう。)

ちなみに台形ではなく、扇形ですね。似てるけど。

No.2 回答者： sesame 回答日時： 2001/05/20 10:01

煙突の厚みは？

無いものとして（つまり紙を丸めたようなものとして）考えるんでしょうか？

No.1 回答者： yanron 回答日時： 2001/05/20 09:59

円筒を切り開いて台形にして考えては？