任意の2x2行列B=(p, q, r, s)に対して、B=A^2を満たす行列A=(a, b, c, d)の各要素をp, q, r, sで表すことは可能でしょうか?

A^2の各要素を計算すると、a^2+bc, b(a+d), c(a+d), bc+d^2となります。これらにp, q, r, sを対応させて、

p = a^2+bc, q = b(a+d), r = c(a+d), s = bc+d^2の方程式を解けばいい、と思ったのですが、私には解けません。

こんな私ですが、ご教授いただければ幸いです。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (3件)

行列の名前を A とすると、これが対角化可能ならAの平方根を計算できます。



Aが対角化可能なら

P^(-1)AP = (λ1, 0, 0 λ2)
#(a, b, c, d) は2x2 の行列を表すとします。
#λ1, λ2 はAの固有値

となる行列 P が存在します。Pの求め方は線形代数の本には
必ず載ってますので、見てください。

これを変形すると
A = P(λ1, 0, 0 λ2)P^(-1)

ここで

B=P(λ1^(1/2), 0, 0, λ2(1/2))P^(-1)

という行列の2乗は

B^2=P(λ1^(1/2), 0, 0, λ2(1/2))P^(-1) P(λ1^(1/2), 0, 0, λ2(1/2))P^(-1)
=P(λ1^(1/2), 0, 0, λ2(1/2))(λ1^(1/2), 0, 0, λ2(1/2))P^(-1)
=P(λ1, 0, 0 λ2)P^(-1)=A


つまり B は A の平方根です。平方根に限らず A の任意のべき乗を計算できます。
ベクトル形式の一階の線形微分方程式の解を知りたいときに使う常とう手段ですね。

より一般的な対角化不能な場合や正則ではない場合はよく覚えていないのでパス(^^;
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ご丁寧に解説いただき、ありがとうございました。早速勉強します。べき乗も求められたら、面白そうです。

お礼日時:2013/01/18 06:52

正則じゃなくても対角化できれば同じことだし, 対角化できない場合はジョルダン標準形から (少なくとも 2×2 行列なら) 計算でき

ます (がそもそも平方根が存在しない場合もある)>#1.
    • good
    • 0
この回答へのお礼

たいへん役に立つ情報をありがとうございます。早速勉強します。御礼申し上げます。

お礼日時:2013/01/18 06:53

ミス発見


λ2(1/2)→λ2^(1/2)
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます。

お礼日時:2013/01/18 06:52

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qエクセルの行列番号の表示サイズについて

エクセルの行列番号の表示が大きく表示されるファイルについて(数式バーの大きさは変わりません)

自宅以外のパソコンで作成したエクセルファイル(2003)なのですが、行列番号の大きさが通常の倍ぐらいの大きさになっています。
新規に自宅でエクセルを起動した場合には、標準の行列番号の大きさなのですが・・・
行列番号の大きさの設定変更は、どこで行えばいいのでしょうか?

ちなみに、オプションの「全般タブ」のサイズを変更しても、数式バーの大きさは変わりますが行列番号の表示の大きさはかわりませんでした。

どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

表示メニュー→ズームで、倍率を変更することによって、行列番号の大きさを変更できます。
また、倍率を変更したままBookを保存すれば、最終のズームで保存されますので、倍率を変えたい場合は任意の倍率にした後上書き保存してみてください。
なお、表示倍率はBookに加えた変更の為、Boolを新規作成した場合は、通常の行列番号になります。

Qgcd(p,q)=1,∃a,b∈G;#G=pq,#=p,#=qならばGは巡回群

gcd(p,q)=1とする。(G,・)を位数pq(つまり#G=pq)のアーベル群とせよ。
aの位数がp,bの位数がq(つまり#<a>=p,#<b>=q)であるような元a,b∈Gが存在する時,
(G,・)は巡回群である事(つまり,∃g∈G;<g>=G)を示せ。
また,このような群Gの例を挙げよ。

という問題はどのようにして示せばいいか分かりません。

是非,ご教示ください。m(_ _)m

Aベストアンサー

問題の条件においてGの元abの位数を考えてみましょう。
また例の方はp=2,q=3などとすればすぐに挙げられるでしょう。

Qエクセルの行列式の計算

エクセルにて例えば3×3の行列式の値や

3×3同士の掛け算足し算はどうすれば

出来るのでしょうか・・?

Aベストアンサー

行列式なら,MDETERM関数があります。

行列の乗法
 結果を表示させたいセルを,行列の要素分だけ範囲指定します。(質問の場合ですと,3×3)
 MMULT関数を使い,計算したい行列を行列1,行列2でそれぞれ範囲指定します。
 最後にShift+Ctrl+Enterキーで行列の積が表示されます。

行列の加法
 乗法と同じく結果を表示するセルを範囲指定します。
 「=」→一つ目の行列を範囲指定→「+」→二つ目の行列を範囲指定の順で入力します。
(数式バーの中は =A1:B2+C1:D2 といった感じ)
 最後にShift+Ctrl+Enterキーで行列の和が表示されると思います。

Qa,b,cは自然数で、a^2+b^2+c^2=abc (a<=b<=c

a,b,cは自然数で、a^2+b^2+c^2=abc (a<=b<=c)を満たす組(a,b,c)を求めよ。

代入して(3,3,3)は見つかったけれど、筋道たててもとめるにはどうしたらいいのでしようか。

Aベストアンサー

この関係を満たすa、b、cは無数に存在することが、06年の東大入試で出題されている。
書き込むのが面倒なので、下のURLを見て欲しい。


http://www.riruraru.com/cfv21/math/tum06f4.htm

Qエクセルでの行列計算がうまくいきません

よろしくお願いします。

いまエクセルで行列計算をしています。
行列[108(行)×35(列)]とその転置行列[35×108]の積から行列[108×108]を出そうとしているのですがうまくいきません。
#valueエラーがでます。

関数mmultを使用しています。
転置行列は関数transposeを使いました。

[35×108]・[108×35]=[35×35]ではちゃんとでるのですが、108×108ではだめなので、元データには問題はないと思います。

一体何がエラーの原因として考えられるのでしょうか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

行数、列数に矛盾が無いという仮定で...
配列の要素の数5458が限界だそうです。

●Excel2002だと..
正方行列の2乗で実験
73×73=5329
=MMULT(A1:BU73,A1:BU73)...○
74×74=5476
=MMULT(A1:BV74,A1:BV74)...#VALUE!

●ただし、2007は上限が上がっているようです。
108×108でもエラーになりません。
=MMULT(A1:DD108,A1:DD108)...○

Qp^2=2^q+1 を満たす正の整数p , qをすべて求めよ。

p^2=2^q+1 を満たす正の整数p , qをすべて求めよ。

因数分解かな、と思ったのですが、
(p-1)(p+1)=2^q

解答がなく、解けずに苦戦しています。

どなたか分かる方、方針だけでもよいのでよろしくお願いします。

Aベストアンサー

> (p , q)=(3 , 3)はすぐ分かるのですが
> この後が続きません…。
>
> 「全て」というので、何らかの不等式に持ち込んで範囲を絞るのだと思うのですが…。

不等式で範囲を絞る以前に、
(p, q) = (3, 3)以外の解が存在しないと思います。

p-1とp+1の差は「たった2」しかありません。

対して、2のべき乗を列挙した数列
1, 2, 4, 8, 16, 32, …
をよく見てください(とくに後ろの部分)。
後ろの項はどんどん数が大きくなります。
こんな風にどんどん大きくなってしまう後ろの項で、
「差がたった2」になるような2つの数の組み合わせが存在するとは思えません。

Qエクセルで行列を入れ替えるをフォルダ単位で行いたい

タイトルの通り、行列を入れ替えたいエクセルファイルがあるのですが、数が多くいちいちファイルを開いてやるのはあまり、いいやり方ではないかなと思っています。どなたか、ファイルをひからずに、フォルダに入っているファイルごとに行列入れ替えを適用する方法をご存知の方がいらっしゃいましたらよろしくお願いします。

入れ替えごのファイルは元のファイルを上書きしても大丈夫です。

Aベストアンサー

どの方法であれ、データを開かず(メモリに読み込まず)作業することはできません。しかし、アプリのインターフェイス(要は画面)を表示せずにバックグラウンドで処理することは可能です。最も簡単な方法はVisualBasic.Netを使うことだと思います。ExpressEditionがお勧めです。無料ですし、ご希望のことはそれで十達成できます。私は必要に応じてコードをしょっちゅう書きかえるので、実行可能ファイルにせずにデバッグモードで実行しています。

VBScriptingで済ます方法(メモ帳があればできる)もあるのですが、インテリセンスが使えないし、メソッドやプロパティを調べるのも面倒なので、あまりお勧めできません。(記述に結局時間がかかる) ただ、雰囲気を味わうのにはいいので、サンプルコードを書いてみました。以下のコードをコピーして、メモ帳にペーストし、テキスト形式で、拡張子を.vbsにして保存。ダブルクリックして実行してください。

** Cドライブ直下にtext.xlsという名前のダミーファイルを置いてください。
** xlApp.visible= FalseのところをTrueにすると可視です。

このコードにはありませんが、ファイルやディレクトリ内情報の取得や操作、エクセルのコントロールなど全く問題なく実現可能です。主要部分をエクセル側にマクロを置いて処理させてもよいと思います。

'Excel起動
Set xlApp = CreateObject("Excel.Application")
'True=可視 False=不可視 デフォルトはFalse
xlApp.visible= False

'処理開始(本来は全書類が終わるまでループ)

'ファイルを開く
Set xlBook =xlApp.Workbooks.Open("C:\test.xls")
'行列変換(もどき)
Set xlSheet1 =xlBook.WorkSheets(1)
Set xlSheet2 =xlBook.WorkSheets(2)
xlSheet1.cells(1,1)="test1-1"
xlSheet1.cells(1,2)="test1-2"
xlSheet2.cells(1,1)=xlSheet1.cells(1,1)
xlSheet2.cells(2,1)=xlSheet1.cells(1,2)

'確認表示(通常不要)
msgbox xlSheet2.cells(2,1).value
'保存
xlBook.Save
'閉じる
xlBook.Close
'処理終了

'Excel終了(必ず入れる)
xlApp.Quit

どの方法であれ、データを開かず(メモリに読み込まず)作業することはできません。しかし、アプリのインターフェイス(要は画面)を表示せずにバックグラウンドで処理することは可能です。最も簡単な方法はVisualBasic.Netを使うことだと思います。ExpressEditionがお勧めです。無料ですし、ご希望のことはそれで十達成できます。私は必要に応じてコードをしょっちゅう書きかえるので、実行可能ファイルにせずにデバッグモードで実行しています。

VBScriptingで済ます方法(メモ帳があればできる)...続きを読む

Q任意の自然数m,nについてm^2+n^2=p^2+q^2を満たすような

任意の自然数m,nについてm^2+n^2=p^2+q^2を満たすような正の有理数p,qは
以前の質問↓
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6158436.html
の際に、a^2+b^2=c^2≠0を満たす整数a,b,cを用いて
 p=(am+bn)/c, q=(an-bm)/c
と表せることを教えていただきました。

これにより求められたp,qは一般には整数ではないですが
 m=(ap-bq)/c, n=(bp+aq)/c
が成り立ちます。

このことから思ったのですが、x,yが“キリの悪い有理数”のとき
a,b,cを上手く選んでやれば
 p=(ax-by)/c, q=(ax+by)/c
により“よりキリの良い有理数”になると思います。
全てのx,yの組み合わせでは不可能かもしれませんが
可能な組み合わせだった場合、x,yが与えられたときに
a,bをどのようにして選べば良いのでしょうか?

※ここで“キリの悪い有理数”とは、
有理数を互いに素な整数を用いた分数で表したときに
素因数が分母にたくさん含まれている数を指すこととします。
“よりキリの良い有理数”とは同様に分母に含まれる
素因数の種類が“キリの悪い有理数”より少ないものとします。

任意の自然数m,nについてm^2+n^2=p^2+q^2を満たすような正の有理数p,qは
以前の質問↓
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6158436.html
の際に、a^2+b^2=c^2≠0を満たす整数a,b,cを用いて
 p=(am+bn)/c, q=(an-bm)/c
と表せることを教えていただきました。

これにより求められたp,qは一般には整数ではないですが
 m=(ap-bq)/c, n=(bp+aq)/c
が成り立ちます。

このことから思ったのですが、x,yが“キリの悪い有理数”のとき
a,b,cを上手く選んでやれば
 p=(ax-by)/c, q=(ax+by)/c
により“よりキリの良い有理数”になると...続きを読む

Aベストアンサー

何を仰っているのか意味不明です

Qエクセルデータの整理がしたい(行列入れ替えなど)

エクセルで作成したデータを整理したいのですが、行列入替コピペ以外で最も簡単な方法を教えてください。

整理前↓                整理後↓
氏名       ○○       氏名 ID  住所
ID        0000       ○○ 0000 鳥取
住所       鳥取       △△ 1111 長野
氏名       △△
ID        1111
住所       長野

Aベストアンサー

一例です。
仮にデータがB1以下に3行間隔で配列、D1:F1に見出し項目とします。
(1)D2に=OFFSET($B$1,ROW(A1)-(4-COLUMN(A1))+ROW(A1)*2,)を設定、縦横にコピー
(2)並び替えした範囲をコピー→形式を選択して貼り付けで「値」を選択→OK

Qa^(a+b)=b^24,b^(a+b)=a^6を同時に満たす1と異なるの正数a,bを求めよ

こんにちは。

[問]
a^(a+b)=b^24,b^(a+b)=a^6を同時に満たす1と異なるの正数a,bを求めよ。
[解]
a+b=24log[a]b
a+b=6log[b]a=6/log[a]b
なので
(log[a]b)^2=1/4
log[a]b=±1/2
a^(±1/2)=b
からどうしてもa,bが定まりませんどうすれば定まりますでしょうか?

Aベストアンサー

>a,b(>0)の大小関係のいかんによってはlog[a]b<0も有り得るのでは??

ええ、もちろん log[a]b を単独でみるときはそうです。でも、この式
   a+b=24log[a]b をみると、a も b も正の数ですから、左辺は
正の数ですよね。ということは、右辺の log[a]b は正の数でなければな
りませんよね?そういう意味で log[a]b>0 といったのです。
したがって、もし b=a^(-1/2)を log[a]b に入れると log[a]a^(-1/2)=-1/2
となり、a+b=-12 で「a,bは正の数」と言うことに矛盾してしまいます。

納得できたでしょうか。説明が足りなくてすみませんでした。


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング