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No.1
- 回答日時:
テストならある程度自力努力が必要です。
体積を求める立体の図を描いて積分の式を立てるようにすれば積分の式や範囲に間違いが起こらないでしょう。
なので、ヒントとして、累次積分(逐次積分)による体積の表現のみにしておきます。
(1)
体積V=∫∫∫{0≦z≦2-y,x^2+y^2≦4} dxdydz
=2∫∫{x^2+y^2≦4} (2-y)dxdy
=2∫[-2→2]dy∫[0→√(4-y^2)] (2-y)dx
または
=2∫[0→2] dx∫[-√(4-x^2→√(4-x^2)](2-y)dy
(2)
体積V=∫∫∫{0≦z≦2-2x-y,0≦x,0≦y} dxdydz
=∫∫{0≦x≦1,0≦y≦2-2x} (2-2x-y)dxdy
=∫[0→1]dx∫[0→2-2x] (2-2x-y)dy
または
=∫[0→2] dy∫[0→1-(y/2)] (2-2x-y)dx
三角錐なので積分すれば V= 2/3 となるはず。
(3)
体積V=∫∫∫{0≦z≦√(a^2-x^2-y^2),0≦x^2+y^2≦a^2} dxdydz (a>0)
=4∫∫{0≦x,0≦y,0≦x^2+y^2≦a^2} √(a^2-x^2-y^2)dxdy
=∫[0→a] dx∫[0→√(a^2-x^2)] √(a^2-x^2-y^2) dy
または
=∫[0→a] dy∫[0→√(a^2-y^2)] √(a^2-x^2-y^2) dx
(極座標に座標変換すると良い。)
半径aの半球の体積なので V= (2/3)πa^3 となるはず。
あとは、ご自分でやってみてください。
解答を補足に書いてもらえればチェックします。
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