2重積分

3つの座標平面　z=0 y=0 x=0 と平面　z=2-2x-y で囲まれる4面体の面積を求めよ

参考書によると答えは 2/3 です。

詳しい解説お願いします。

No.3 回答者： shuu_01 回答日時： 2013/12/20 17:47

僕は学校を卒業して何年もたっており、数学の知識の大部分が

どっかに蒸発しており、「２重積分」って聞いただけで、
なんだったけ～？？　状態で、

No.2 さんの D ってのも、なんじゃこりゃ～？？　状態でしたが、

No.2 さんの答えを見つめてると、なんかわかって来ました
No.2 さん、ありがとう

その前に、問題を視覚的に把握しておく必要があります

今回の４面体の面積は 4 ＋ √6 でないかな？
（検算してないけど）

体積は 2/3 なので、No.2 さんもおっしゃってるように

「4面体の体積を求めよ」って問題ですよね

面積を出す時、xy 座標で 高さ y を x で積分すると
面積を求めることができました

それと同様に 面積を積分すると、体積を求められます

問題の四面体をまず xya 軸のグラフに描くと、

原点 （0,0,0）、x 軸上の (1,0,0)、y 軸上の (0,2,0）、
z 軸上の（0,0,2）の４点であることがわかります

x で積分して、体積を出すには

x 軸に垂直な面の面積を求めれば良いです

z ≧ 0 ですので、2-2x-y ≧ 0

したがって y ≦ 2 － 2 x

y について 0 から 2 -2x の範囲で z を積分すると、
面積 S が出ます

（１）
S ＝ ∫[0→2-2x] z dy
＝ ∫[0→2－ 2x] (2－ 2x－ y) dy
＝ ∫[0→2－ 2x] ｛(2－ 2x）－ y)｝dy
＝ [(2－ 2x)y － (1/2) y^2] [0→2－ 2x]
＝ (2－ 2x)^2 － (1/2) (2－ 2x)^2
＝ 2 (1－ x)^2

この面積を x について 0 から 1 の範囲で 積分すると、
体積 V が出ます

（２）
V ＝ ∫[0→1] S dx
＝ ∫[0→1] 2 (1－ x)^2 dx
＝ ∫[0→1] 2 (x－ 1)^2 dx
＝ [ 2/3 (x－ 1)^3] [0→1]
＝ 0 －（－2/3）＝ 2/3

と答えが出ます

（１）と （２） を一緒にしちゃったのが、2重積分で

No.2 さんの回答になります

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/12/19 23:35

>4面体の面積を求めよ

4面体の体積ではないですか?

そうであれば
D={(x,y)|x≧0,y≧0,y≦2-2x}
体積=∬[D] zdxdy
=∫[0,1] dx∫[0→2-2x] (2-2x-y) dy
=∫[0,1] [(2-2x)y-(1/2)y^2][0→2-2x]}dx
=∫[0,1] {(2-2x)^2-(1/2)(2-2x)^2}dx
=∫[0,1] 2(x-1)^2 dx
=[(2/3)(x-1)^3][0,1]
=2/3

この回答へのお礼

わかりました。ありがとうございます。

お礼日時：2013/12/21 23:01

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/12/19 23:20

その平面の切片方程式を考えれば容易にわかるが

(1/6)×1×2×2 = 2/3.