0≦z≦xy、x^2+y^2≦a^2 、x≧0 、y≧0の空間図形を求める問題の解法がわからないので

0≦z≦xy、x^2+y^2≦a^2 、x≧0 、y≧0の空間図形を求める問題の解法がわからないので教えてください！

質問者からの補足コメント

• 空間図形じゃなくて空間図形の体積でした‥ごめんなさい！！

    補足日時：2021/12/05 23:47

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2021/12/06 09:01

> 空間図形の体積

それをVとすると、
　　V = ∫ dp (積分範囲はp∈A)
ただし
　　A = {(x,y,z) | x≧0 ∧ y≧0 ∧ x^2 + y^2 ≦ a^2 ∧ 0≦z≦xy}
ということです。さてこの先、どんな座標系を設定して、各成分をどの順番で積分するか、の選択は自由です。

　そこでたとえば、素直に直交座標系を使って 点pをp=(x,y,z) とし、
　　V = ∫ (∫ (∫ dz) dy) dx (積分範囲は(x,y,z)∈A)
とやれば
　　V = ∫{0〜|a|} (∫ {0〜√(a^2-x^2)}( ∫{0〜xy} dz) dy) dx
　　= ∫{0～|a|} (∫ {0～√(a^2-x^2)} y dy) x dx
です。
　また、点pを円筒座標(r,θ,z) （r≧0, 0≦θ≦2π)と表して
　　V = ∫ dp (積分範囲は (r cosθ, r sinθ, z)∈A)
と考えれば、
　　A={(r cosθ, r sinθ, z) | cosθ≧0 ∧ sinθ≧0 ∧ r^2 ≦ a^2 ∧ 0≦z≦(r^2)sin(2θ)/2 }
すなわち
　　A={(r cosθ, r sinθ, z) | π/2≧θ≧0 ∧ |a|≧r≧0 ∧ 0≦z≦(r^2)sin(2θ)/2}
というわけで
　　V = ∫{0〜π/2}(∫ {0〜|a|} (∫{0〜(r^2)sin(2θ)/2}dz) r dr) dθ
　　= ∫{0～π/2}(∫ {0～|a|} ((r^3)sin(2θ)/2) dr) dθ
　　= (1/2)(∫{0～π/2}sin(2θ) dθ) (∫ {0～|a|} (r^3) dr)
ともやれる。

この回答へのお礼

ありがとうございます！助かります！！

お礼日時：2021/12/06 16:20

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2021/12/05 22:32

> 空間図形を求める

どうすりゃ答えたことになるんだろう。絵に描きたくても、立体だからなかなか難しい。