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No.1
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X=-xとおくと
『x≧0において常に-x^3+4x^2≦-ax+18⇔ax≦x^3-4x^2+18が成立するとき,aのとりうる値の範囲を求めよ.』
となります.
・x=0のときa0≦18は常に成り立つ.
・x>0のときax≦x^3-4x^2+18⇔a≦x^2-4x+18/xが成立するようなaを求める.
f(x)=x^2-4x+18/x
とおくと,
f'(x)=2x-4-18/x^2=2(x^3-2x^2-9)/x^2
=2(x-3)(x^2+x+3)/x^2=2(x-3){(x+1/2)^2+11/4}/x^2
0<x<3のときf'(x)<0
3<xのときf'(x)>0
x>0においてf(x)の最小値はf(3)=9-12+6=3であるから
x>0のとき3≦x^2-4x+18/x
よってa≦3であればよい.
以上からx≧0で常にax≦x^3-4x^2+18が成り立つためには
(aは任意の実数)かつ(a≦3)
すなわち
a≦3
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