No.1ベストアンサー
- 回答日時:
淵に掛かった状態になっているとき、添付図の様になっていたとします。
棒に掛かる力の釣り合いの条件から
棒に平行な方向の釣り合いから
T・cosθ=W・cosδ
2つの角度には
δ=90°-θ
の関係があるので
T・cosθ=W・cos(90°-θ)=W・sinθ
∴T=W・tanθ 式(ア)
棒に垂直な方向の釣り合いから
F+T・sinθ=W・sinδ
F+T=W・cosθ
式(ア)を適用すると
F=W・(cosθ-tanθ) 式(イ)
A点のまわりのモーメントの和=0 より
W・s・cosθ=F・b
△OABが二等辺三角形なので
b=AB=2・(a・cosθ)
が成り立つので
W・s・cosθ=F・2・(a・cosθ)
∴W・s=2・F・a 式(ウ)
式(イ),(ウ)より、s,a,θ の関係式を求めることができます。
でも、これってかなり面倒ですよね。そこで、見方を変えてみましょう。
以下は、別解法です。
棒が安定しているということはどのようなことでしょうか?
それは、重心位置が、可能な範囲内で、最も低い位置に在る、ということです※。
※ 棒の、重力による位置エネルギーが最小になるということです。重力空間で、物体が最も安定するのは、重力による位置エネルギーが最小になっているときです。
添付図で言うと、hが下向きに最大となる条件を求めれば良いということです。
実際の計算に移る前に、いろいろイメージしてみましょう。
棒が水平方向とのなす角度θは、(何も考えなければ)0°以上90°以下になります。
θ=0°のときには、重心位置はBの高さに在ります。
θ=90°のとき(これは、A端がBの位置に来て、それが棒の下端となることですから)GはBよりsだけ高い位置になります。
0<θ<90° では、添付図の例の様に、Gは明らかにBより下にくることがありえるはずです。
ということで、棒の傾きθによってhは最大値を取るはずだということです。
h=(b-s)・sinθ
ですから
h=(2・(a・cosθ)-s)・sinθ
変数はθのみですから、hはθの関数です。hが最大値を取るための必要条件は
dh/dθ=0
です。
つまり
0=(2・a・cosθ-s)・cosθ+sinθ・(-2a・sinθ)
=4a・(cosθ)^2-s・cosθ-2a
この2次方程式を解くと
cosθ=(s±√(s^2+32a^2))/(8a)
0<cosθ<1 でなければなりませんから
cosθ=(s+√(s^2+32a^2))/(8a)<1
∴2a>s 式(エ)
これは、質問者さんが書いておられた条件の1つです。
また、GがBを超えて半球の淵の外に来てはいけないので
b>s
も必要な条件です。これより
2・a・cosθ>s
これに
cosθ=(s+√(s^2+32a^2))/(8a)
を代入して整理すると
s>a・√(2/3) 式(オ)
(エ),(オ)より
2a>s>a・√(2/3)
となります。
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