こんにちは
突然ですが、「微分する」、とはどのようなことなのでしょうか?
微分方法は分かるのですが、微分することによって何がどうなるのかがイメージできません。
辞書で調べてみると、微分とは「ある関数の導関数を求めること」と書かれています。
今度は導関数を調べてみると、「関数f(x)を微分して得られる関数f'(x)を、もとの関数の導関数という」と書かれています。
要は、導関数とは「関数f'(x)」のことでしょうか。
では、微分しこの導関数を求めることによって、何がどうなるのでしょうか?
何のために求めるのでしょうか?
私は数学にはあまり詳しくありません。(数IIに関する知識も殆ど忘れてしまっています;)
ですので、出来ましたら端的にわかり易くご説明していただけると、とても助かります。
お手数ですが、よろしくお願いします。
No.3
- 回答日時:
いろいろ難しい説明はあるのでしょうが
もっとも簡単な説明は
そのの通りのことです。
曲線を、小さく小さく小さく微小に分けていくと
その小さな部分では直線と考えることができませんか?
微分とはそういうことなのです。
つまり難しい曲線の式を
直線に変えて簡単にしましょうということです。
例えば y=x^2の式は微分すると y=2x
あるxの値の時の曲線の傾きを表していると言えるでしょう。
ちなみに積分というのは
曲線で囲まれた範囲の面積を求めるとき
大きな正方形以外の部分を
小さな小さな小さな正方形で分割してしまうと
限りなく元の曲線で囲まれた部分の面積に近づくでしょう。
それが積分の意味です。
どうでしょうか。
簡単に理解できましたでしょうか?
こんにちは
成る程です。
たしか二次関数の放物線の傾きは、一次関数の直線とは異なり、一定ではないと習いました。図に書いてみると確かに一定ではないなと納得します。
では、その座標ごとに変化する曲線の傾きの値を知るために、微分するということでしょうか。
>>例えば y=x^2の式は微分すると y=2x
>>あるxの値の時の曲線の傾きを表していると言えるでしょう。
とありましたが、仮にx=1,3だとすると、
y(x)=x^2
y'(x)=2x
x=1のとき、y'(1)=2
x=3のとき、y'(3)=6
よって、y=x^2の放物線においてx=1のとき、その傾きは2だが、x=3のときは、その傾きは6になる。
という理解で大丈夫でしょうか?
お手数をお掛けしてすみません。
よろしくお願いします。
No.4
- 回答日時:
簡単に云うと変化分を求めると考えたらいかがでしょうか?
40km/hで進んでいた車が10秒後に50km/hになったら1秒当たり1km/hの変化があった。
ブレーキをかけたら、マイナスの変化があったと考えるとわかりやすいかと思います。
こんにちは
車で走るとき、必ずしもその速さは一定ではなく変化する。
その変化分を求めるために微分する、ということですね^^
ご回答、ありがとうございました!
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
幾何学と結びつけて理解の一助としてはどうでしょうか。
幾何学といっても、2次元、つまり平らな紙の上に描いたグラフでいいです。
数式で「y=-x^2」(^2は2乗という意味)をグラフに描くと、いわゆる放物線という曲線になります。
y=-x^2を微分すると、y'=-2xですね。それが何を表しているかと言うと、(各々の)xでのグラフの接線の傾きです。
では、その接線は何の意味があるか、ということになります。実際に何か物体を上向きに放れば、やはり放物線です。時々刻々、物体の速度は変わって行きます。その速度は、接線の傾きで表せるんですね。
もちろん、これだけではないですが、そうしたことに微分は使えます。
他に、やはり幾何学ですが、二つの直線が一点で交わっているとして、その交わる角度は分かります。直角に交わっているかどうかなどですね。それが二つ曲線だと、交わる角度をどう考えたらいいか、ちょっと迷います。
方法の一つとして、交わっている点での二つの曲線の接線を考えればいいのです。それを、二つの曲線の交わる角度として考えたりできます。
P.S.
微分が曲線の接線の傾きを表すのに対し、積分(定積分)は、曲線が与える面積を表せます。
こんにちは
微分することによって何が分かるのか。
その質問に対する的確で整然としたご回答、ありがとうございます。
とても分かりやすかったです。
また、積分にも触れていただきありがとうございました。
おいおい積分に関しても勉強しなければならなかったので、ここでイメージのヒントを与えていただき、とても嬉しいです。
ご回答、ありがとうございました!
No.6
- 回答日時:
最初の定義のところを読んでみるとよいと思いますよ。
f(x)=x^2
上の点P(x,x^2)
ここから、hだけx座標が増加したところのf(x)上の点Q(x+h,(x+h)^2)
平均変化率を求める式は、(x+h)^2-x^2 / x+h-x
=2hx + h^2 / h
=h(2x + h) / h
=2x+h
このh を限りなく0に近づけていく、だから、2x。
f'(x)=2x
だと導けます。
そうすると、Pにおける接線の傾き(その瞬間の変化率)が求まると私は理解しています。
具体的な数値で考えれば、よりわかりやすいかもしれません。
P(2,4)だったとして、Q(5,25) だったとしましょうか。
x座標は3増えて、y座標は21増えている。
この間の平均変化率は、21÷3=7
PQを結ぶ直線の傾き。
ここでいう「3」をどんどん小さくしていく、限りなくゼロに近づけていくというイメージを私は持っています。
点Qが、点Pに近づいて行って、最終的には限りなく一致するところまで行きます。
となると、PQを結ぶ直線は、Pにおける接線となる、という感じでしょうか。
こんにちは
>>このh を限りなく0に近づけていく
教科書でも同じような説明をされていたんですが、私はこの部分が引っ掛かりよく理解できませんでした。
"なぜ0に近付けるのだろう?"と、その行動の意味が分からなかったのですが、今考えてみるとhを0に近付ける理由は、直線上の傾きではなく、限りなく短い線=点の傾き(その瞬間の変化率)を知るためなのかなぁ、となんとなくイメージできるようになりました。
ご回答、ありがとうございました!
No.7
- 回答日時:
辞書で調べたのが、失敗でしたね。
その説明は、対で見ると、典型的な循環定義になっていますが、
正しく循環しているので、矛盾はありません。
辞書は、言葉で言葉を説明するものなので、
ほぼ全ての説明が、手繰ってみると循環的になっているのです。
どこか出発点の言葉を知らなければ、意味をとることはできない。
質問文中の説明も、「微分する」を知っていれば「導関数」が、
「導関数」を知っていれば「微分する」が解るようになっています。
辞書としては、それで正しいのです。
「赤」と「赤い」の関係なども調べてみるとよいと思います。
数学で用語を定義するのとは、ちょっと違います。
「微分する」と「導関数」の数学的な定義を知るには、
解析学の教科書を見るとよいです。
そこでは、おそらく、まず「微分係数」が定義してあって、
変数 x を、関数 f(t) の t=x における微分係数へ写像する関数を、
f の「導関数」と言い、f'(x) などと書く。
関数 f に対し、その微分係数または導関数を求めることを、
f を「微分する」と言う。 …と書いてあるはずです。
「微分係数」のほうは、本により多少バリエーションはありますが、
lim[x→a] {f(x)-f(a)}/(x-a) と定義してあるのが通常です。
それに先立って、lim[x→a] の定義が必要ですね。
ここは、学年によって大きな違いがあって…
高校の教科書では、簡潔な定義は抜きで、x が a に近づくとき
g(x) がひとつの値 b に近づくことを、lim[x→a] g(x) = b と書き、
b を x→a における g(x) の「極限」と言う。 …と説明してあります。
「近づく」とは何か?というと、lim から循環的に説明するしかない
ので、これは辞書とよく似たスタイルです。
大学生向きの入門書では、いわゆるεδ論法によって、「極限」を
定義してあるものが大半です。
任意の正数 ε について、それに対応する正数 δ が存在して
以下の条件が成り立つことを、lim[x→a] g(x) = b と書き、
b を x→a における g(x) の「極限」と言う。
条件: |x-a|<δ ならば、|f(x)-b|<ε.
大学流の lim の定義は、初めて見るとトッツキニクイ印象ですが、
厳密で簡潔なので、慣れると使いやすいのです。
辞書や高校教科書のような循環的説明には、ならないし。
ここを出発点に、上記を遡って、「導関数」などを定義します。
こんにちは
いやぁ、数学ってすごいですね。何と言うか、謎が謎を呼びます。理解したつもりでも、新たな"?"に辿り着いて果てしない感じです。
今度は「極限」とは何か、に躓きました(笑)
「最大・小」と「極限」の違いは何?という感じです。
うーん、大学では専門外ですが、もう少し勉強したくなりました。
ご回答、ありがとうございました!
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