微分する、とは？

Question

こんにちは

突然ですが、「微分する」、とはどのようなことなのでしょうか？
微分方法は分かるのですが、微分することによって何がどうなるのかがイメージできません。

辞書で調べてみると、微分とは「ある関数の導関数を求めること」と書かれています。
今度は導関数を調べてみると、「関数f（x）を微分して得られる関数f'（x）を、もとの関数の導関数という」と書かれています。
要は、導関数とは「関数f'（x）」のことでしょうか。
では、微分しこの導関数を求めることによって、何がどうなるのでしょうか？
何のために求めるのでしょうか？

私は数学にはあまり詳しくありません。（数IIに関する知識も殆ど忘れてしまっています；）
ですので、出来ましたら端的にわかり易くご説明していただけると、とても助かります。

お手数ですが、よろしくお願いします。

lazydog1 · Accepted Answer

幾何学と結びつけて理解の一助としてはどうでしょうか。

幾何学といっても、2次元、つまり平らな紙の上に描いたグラフでいいです。

数式で「y＝-x^2」（^2は2乗という意味）をグラフに描くと、いわゆる放物線という曲線になります。

y＝-x^2を微分すると、y'＝-2xですね。それが何を表しているかと言うと、（各々の）xでのグラフの接線の傾きです。

では、その接線は何の意味があるか、ということになります。実際に何か物体を上向きに放れば、やはり放物線です。時々刻々、物体の速度は変わって行きます。その速度は、接線の傾きで表せるんですね。

もちろん、これだけではないですが、そうしたことに微分は使えます。

他に、やはり幾何学ですが、二つの直線が一点で交わっているとして、その交わる角度は分かります。直角に交わっているかどうかなどですね。それが二つ曲線だと、交わる角度をどう考えたらいいか、ちょっと迷います。

方法の一つとして、交わっている点での二つの曲線の接線を考えればいいのです。それを、二つの曲線の交わる角度として考えたりできます。

P.S.

微分が曲線の接線の傾きを表すのに対し、積分（定積分）は、曲線が与える面積を表せます。

jmh · Answer

例えば、関数ｆ（ｘ）がお父さんだとすると、導関数ｆ’（ｘ）はその息子です。ｆ（ｘ）について知りたくてｆ’（ｘ）に尋問したりします。そしてｆ’（ｘ）の方が容易だったりします。

alice_44 · Answer

辞書で調べたのが、失敗でしたね。
その説明は、対で見ると、典型的な循環定義になっていますが、
正しく循環しているので、矛盾はありません。
辞書は、言葉で言葉を説明するものなので、
ほぼ全ての説明が、手繰ってみると循環的になっているのです。
どこか出発点の言葉を知らなければ、意味をとることはできない。
質問文中の説明も、「微分する」を知っていれば「導関数」が、
「導関数」を知っていれば「微分する」が解るようになっています。
辞書としては、それで正しいのです。
「赤」と「赤い」の関係なども調べてみるとよいと思います。
数学で用語を定義するのとは、ちょっと違います。

「微分する」と「導関数」の数学的な定義を知るには、
解析学の教科書を見るとよいです。

そこでは、おそらく、まず「微分係数」が定義してあって、
変数 x を、関数 f(t) の t=x における微分係数へ写像する関数を、
f の「導関数」と言い、f'(x) などと書く。
関数 f に対し、その微分係数または導関数を求めることを、
f を「微分する」と言う。　…と書いてあるはずです。

「微分係数」のほうは、本により多少バリエーションはありますが、
lim[x→a] {f(x)-f(a)}/(x-a) と定義してあるのが通常です。

それに先立って、lim[x→a] の定義が必要ですね。
ここは、学年によって大きな違いがあって…

高校の教科書では、簡潔な定義は抜きで、x が a に近づくとき
g(x) がひとつの値 b に近づくことを、lim[x→a] g(x) = b と書き、
b を x→a における g(x) の「極限」と言う。　…と説明してあります。
「近づく」とは何か？というと、lim から循環的に説明するしかない
ので、これは辞書とよく似たスタイルです。

大学生向きの入門書では、いわゆるεδ論法によって、「極限」を
定義してあるものが大半です。
任意の正数 ε について、それに対応する正数 δ が存在して
以下の条件が成り立つことを、lim[x→a] g(x) = b と書き、
b を x→a における g(x) の「極限」と言う。
条件： |x-a|<δ ならば、|f(x)-b|<ε.

大学流の lim の定義は、初めて見るとトッツキニクイ印象ですが、
厳密で簡潔なので、慣れると使いやすいのです。
辞書や高校教科書のような循環的説明には、ならないし。
ここを出発点に、上記を遡って、「導関数」などを定義します。

soixante · Answer

最初の定義のところを読んでみるとよいと思いますよ。

f(x)=x^2

上の点P（x,x^2)

ここから、hだけx座標が増加したところのf(x)上の点Q(x+h,(x+h)^2)

平均変化率を求める式は、(x+h)^2-x^2  / x+h-x

＝2hx + h^2 / h

＝h(2x + h) / h

＝2x+h

このh を限りなく0に近づけていく、だから、2x。
f'(x)=2x
だと導けます。

そうすると、Pにおける接線の傾き（その瞬間の変化率）が求まると私は理解しています。

具体的な数値で考えれば、よりわかりやすいかもしれません。

P(2,4）だったとして、Q(5,25) だったとしましょうか。
x座標は3増えて、y座標は21増えている。
この間の平均変化率は、21÷3＝7
PQを結ぶ直線の傾き。

ここでいう「3」をどんどん小さくしていく、限りなくゼロに近づけていくというイメージを私は持っています。
点Qが、点Pに近づいて行って、最終的には限りなく一致するところまで行きます。
となると、PQを結ぶ直線は、Pにおける接線となる、という感じでしょうか。

fjnobu · Answer

簡単に云うと変化分を求めると考えたらいかがでしょうか？
40km/ｈで進んでいた車が10秒後に50km/ｈになったら1秒当たり1km/ｈの変化があった。
ブレーキをかけたら、マイナスの変化があったと考えるとわかりやすいかと思います。

guriccho · Answer

いろいろ難しい説明はあるのでしょうが
もっとも簡単な説明は
そのの通りのことです。

曲線を、小さく小さく小さく微小に分けていくと
その小さな部分では直線と考えることができませんか？

微分とはそういうことなのです。

つまり難しい曲線の式を
直線に変えて簡単にしましょうということです。

例えば　y=x^2の式は微分すると　y=2x
あるｘの値の時の曲線の傾きを表していると言えるでしょう。

ちなみに積分というのは
曲線で囲まれた範囲の面積を求めるとき
大きな正方形以外の部分を
小さな小さな小さな正方形で分割してしまうと
限りなく元の曲線で囲まれた部分の面積に近づくでしょう。
それが積分の意味です。

どうでしょうか。
簡単に理解できましたでしょうか？

cd121975 · Answer

私は数学苦手なほうなのですが、

自分は、微分の意味を考えると難しいので、
もう計算処理だと考えてます

papabeatles · Answer

ざっくり言うと増え方減り方を求める方法です。
クルマの速度と加速度の関係が分かりやすいと思います。

微分する、とは？

例えば、関数ｆ（ｘ）がお父さんだとすると、導関数ｆ’（ｘ）はその息子です。

辞書で調べたのが、失敗でしたね。

最初の定義のところを読んでみるとよいと思いますよ。

幾何学と結びつけて理解の一助としてはどうでしょうか。

簡単に云うと変化分を求めると考えたらいかがでしょうか？

いろいろ難しい説明はあるのでしょうが

私は数学苦手なほうなのですが、

ざっくり言うと増え方減り方を求める方法です。

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