No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(4)は、正しい。
M⊂N の意味は、A No.1 に書いた通りです。同心円二個からなるベン図を書いて、どちらの円が M のとき
「a∈M ならば a∈N」が成り立つか、確認してください。
相手からハミ出す元が有るのは、M ですか、N ですか?
理解できました!
論理の展開を理解していませんでした。
a∈Mを満たす、すべてのaはNに属することを説明しているのが、
「一方,a∈Mに対して,aをdで割った商をq,…」以下であることが、やっと理解できました。
ありがとうございます。
No.1
- 回答日時:
青チャートを持っていないので、問題がわからないが、
質問文から見て、↓この話題じゃないのかな?
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/include1. …
「部分集合を表わす記号 A⊂B」の節の「※ (注意)」を参照
数学では、昔から、部分集合は A⊂B と書くのが普通だが、
以前の学校教科書では、部分集合 A⊆B 真部分集合 A⊂B が使われていた。
私も、小学校の時(というと世代がバレるが) A⊆B の書き方を習った。
どうやら最近まで、高校でも A⊆B と教えていたらしく、書籍や
ネット上でも、未だにこのスタイルを使ったものが在る。↓
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6% …
困ったものだ。
常識的には、M⊂N は M が N の部分集合であることを指すので、
その意味は (a∈M ならば a∈N) そのもの。
M⊂N は M=N の場合を含んでおり、M=N ⇔ (M⊂N かつ N⊂M) である。
この回答への補足
回答ありがとうございます。
すみません。質問の方法がいい加減でした。
問題と解説を記述します。
【例題125】
整数全体の集合をZとする。Zの部分集合M(ただし,空集合でない)が,
「a,b∈M ならば a-b∈M」…(A)
という性質をもつとき,次のことを示せ。
(1)0∈M (2)a,b∈M ならば a+b∈M
(3)Mは0以外の要素を含み,Mに属する最小の自然数をdとすると,Mはdの倍数全体の集合と一致する(すなわち,M={kd|k∈Z}と表される)。
【解答】
(1)Mは空集合でないから,少なくとも1つの要素aを含む。
a,a∈Mであるから a-a∈M すなわち 0∈M
(2)0∈M,a∈Mであるから
0-a∈M すなわち -a∈M…(1)
また,a∈M,b∈Mとすると,(1)から -b∈M
よって a-(-b)∈M すなわち a+b∈M…(2)
(3)Mが0以外の要素を含めば,a∈Mと-a∈Mから,Mは自然数を含む。
ここで,Mに属する最小の自然数をdとし,dの倍数全体の集合をNとする。
(2)から 2d=d+d∈M,3d=2d+d∈M,4d+d∈M,…
(1)から -d∈M,-2d∈M,-3d∈M,-4d∈M,…となる。
よって,dの倍数はすべてMに属する。
したがって N⊂M…(3)
一方,a∈Mに対して,aをdで割った商をq,余りをrとすると,a=dq+r,0≦r<である整数q,rが定まる。
dの倍数はすべてMに属するから dq∈M
また,a∈Mであるから r=a-dq∈M
ここで,r≠0とすると,0<r<dとなり,dがMに属する最小の自然数という仮定に反する。
ゆえに r=0 よって a=dq∈N
a∈Mならばa∈Nとなるから,M⊂N…(4)
したがって,(3),(4)から, M=N(dの倍数全体の集合)
【不明なところ】
(3)の解説ので,「a∈Mならばa∈Nとなるから,M⊂N…(4)
」が納得できません。
「a∈M ならばa∈Nとなるから,M⊃N」ともいえると思います。
これが、正しいとすると結論のM=Nにたどり着かず,N⊂Mとしか言えないのではないでしょうか?
解答の「一方,a∈M…以下はMがNの部分集合であることを証明し,MとNが互いの部分集合であることよりM=Nに帰着しようとしている部分と思いますが,ラスト2行目が納得できないため,解答が理解できません。
解説をよろしくお願いします。
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