
無限に長い円筒の側面に面密度σで電荷が分布しているとする。この円筒の中心軸からrの距離での電場は
E=σa/εor
である。
2つの導体円筒A(半径a)B(半径b)共に長さl で a<b を中心軸を重ねコンデンサーをつくる。外側の円筒Bを接地し、内側の円筒Aに電荷Qを与えたとして電気容量Cを求めよとありました。
コンデンサーの式がQ=CVなので
まずEを積分してVを出せばいいと考えました
でもこの際、
定積分で
V=-∫a→b Edr なのでしょうか
それとも V =-∫b→aEdrなのでしょうか。
半径が大きいのがbなのではじめa→bと考えましたが答えが違っていたので
接地はV=0で通常ここを基準にするという考えで
b→aにすればいいのでしょうか。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
F=qE
エネルギー計算は、
W=-∫[a→b]Fdr・・・[ポテンシャルはb>aの関係にあります]
です。
ここで、
V=-∫[a→b]Fdr=-∫[a→b]qEdr
電位の定義は、q=+1[C]の電荷を電界に逆らって…であるので、仕事の考え方と同じく、
V=-∫[b→a]qEdr・・・[内部の円筒に+q[C]の電荷をおいたときの電界の分布(電位の分布)を見ればよい。a>bになる]
となる。
基本的に、無限遠がゼロ電位であることは電磁気学ではほぼ自明だから、無限遠から遠いほうに+q[C]の電荷をおいて考えればよい。
お返事が遅くなりごめんなさい。
無限遠の定義となぜ分布がそうなるのかなど
わからないことを全部解説下さって本当にありがとうございます。
No.1
- 回答日時:
Q=C・V
の公式を使うということは、電位差Vを
V>0
として計算するということが暗黙の前提になっています。
電位差とは、小さな正電荷を電場の方向に運ぶときに(単位電荷に対して)電場がした仕事の大きさで表した量です。
電場の方向が、その正の向きになるように、r軸を取ったとします。
r軸上に近接した2点P,Qを考えます。
0<a<b として、r=aの点をP,r=bの点をQ とします。P-Q間の電場(E)の向きは
P→Q
ですから、正電荷(dQ)をP点に置けば、電場がそれをP→Qの方向に運んでいくことになり、その仕事dWは
dW=(E・dQ)・|a-b|
となります。なお、仕事としてWではなく、dWのようにdを付したのは、それが小さな仕事だという意味を込めてのことです。
単位電荷当たりの仕事は
(dW)/(dQ)=E・|a-b|
で、これが、電位差dVpqに相当する量です。
ここで、次のようなことを考えてみましょう。
P→Q間の距離を、その向きも含めて dr と表現してみます。つまり、drをベクトルとして見るということです。電場Eの向きと一致した向きに取っています。
電場もベクトルですから向きを持っており、今は P→Q としているのでした。
ここで、Eとdrとの内積(E・dr)を考えてみます。両ベクトルは同じ向きですから、内積は正の数となります。
dVpq=E・|a-b|
この式の |a-b| を、Eの向きに取った dr で置き換えると
dVpq=E・|a-b|
=E・dr
機械的に、積分記号を付け加えてみると
∫dVpq=∫E・dr
この右辺が、我々が問題にしている、積分そのものなのです。
行論から明らかなように、drはP→Qの向きでした。問題になっている装置では、内円筒→外円筒 の向きに電場ができていますから、drもまたP→Qの向きを正とする向きということになります。
そして、積分範囲とは、このdRの向きをどの向きに取るかを示したものなのです。
積分範囲を a→b と取れば、これはdrをEの向きに取ったことを意味し、b→a と取れば、これはdrをEの向きと正反対の向きに取ったことを意味します。
ですから
電位差=∫[a→b]E・dr
=-∫[b→a]E・dr
ということになります。
形式的な話になりましたが、定積分の積分因子drと、積分範囲の上底・下底 との関係から説明してみました。わかり難かったかも知れません。
結論を繰り返せば
積分範囲を、電場の向きに一致するように設定すれば、 電位差=∫[積分範囲]E・dr
積分範囲を、電場の向きと逆に設定すれば、 電位差=-∫[積分範囲]E・dr
ということになります。
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