ガウスの法則での定積分の範囲

無限に長い円筒の側面に面密度σで電荷が分布しているとする。この円筒の中心軸からrの距離での電場は
E=σa/εoｒ
である。


2つの導体円筒A(半径a)B(半径b)共に長さｌ で a<b　を中心軸を重ねコンデンサーをつくる。外側の円筒Bを接地し、内側の円筒Aに電荷Qを与えたとして電気容量Cを求めよとありました。



コンデンサーの式がQ=CVなので

まずEを積分してVを出せばいいと考えました

でもこの際、

定積分で

V=-∫a→b Edr　なのでしょうか
それとも　V =-∫b→aEdrなのでしょうか。

半径が大きいのがbなのではじめa→bと考えましたが答えが違っていたので
接地はV=0で通常ここを基準にするという考えで

b→aにすればいいのでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2013/04/11 02:07

F=qE

エネルギー計算は、
W=-∫[a→b]Fdr・・・[ポテンシャルはb>aの関係にあります]
です。
ここで、
V=-∫[a→b]Fdr=-∫[a→b]qEdr
電位の定義は、q=+1[C]の電荷を電界に逆らって…であるので、仕事の考え方と同じく、
V=-∫[b→a]qEdr・・・[内部の円筒に+q[C]の電荷をおいたときの電界の分布(電位の分布)を見ればよい。a>bになる]
となる。

基本的に、無限遠がゼロ電位であることは電磁気学ではほぼ自明だから、無限遠から遠いほうに+q[C]の電荷をおいて考えればよい。

この回答へのお礼

お返事が遅くなりごめんなさい。
無限遠の定義となぜ分布がそうなるのかなど
わからないことを全部解説下さって本当にありがとうございます。

お礼日時：2013/05/03 14:19

No.1 回答者： Quarks 回答日時： 2013/04/11 01:48

Ｑ＝Ｃ・Ｖ

の公式を使うということは、電位差Ｖを
　Ｖ＞０
として計算するということが暗黙の前提になっています。
　
電位差とは、小さな正電荷を電場の方向に運ぶときに(単位電荷に対して)電場がした仕事の大きさで表した量です。
　
電場の方向が、その正の向きになるように、ｒ軸を取ったとします。
ｒ軸上に近接した２点Ｐ，Ｑを考えます。
０<ａ<ｂ として、ｒ＝ａの点をＰ，ｒ＝ｂの点をＱ　とします。Ｐ－Ｑ間の電場(Ｅ)の向きは
Ｐ→Ｑ
ですから、正電荷(dＱ)をＰ点に置けば、電場がそれをＰ→Ｑの方向に運んでいくことになり、その仕事dＷは
　dＷ＝(Ｅ・dＱ)・|ａ－ｂ|
となります。なお、仕事としてＷではなく、dＷのようにdを付したのは、それが小さな仕事だという意味を込めてのことです。
単位電荷当たりの仕事は
　(dＷ)/(dＱ)＝Ｅ・|ａ－ｂ|
で、これが、電位差dＶpqに相当する量です。
ここで、次のようなことを考えてみましょう。
Ｐ→Ｑ間の距離を、その向きも含めて dｒ と表現してみます。つまり、dｒをベクトルとして見るということです。電場Ｅの向きと一致した向きに取っています。
電場もベクトルですから向きを持っており、今は　Ｐ→Ｑ としているのでした。
ここで、Ｅとdｒとの内積(Ｅ・dｒ)を考えてみます。両ベクトルは同じ向きですから、内積は正の数となります。
　dＶpq＝Ｅ・|ａ－ｂ|
この式の |ａ－ｂ| を、Ｅの向きに取った dｒ で置き換えると
　dＶpq＝Ｅ・|ａ－ｂ|
　＝Ｅ・dｒ
機械的に、積分記号を付け加えてみると
　∫dＶpq＝∫Ｅ・dｒ
この右辺が、我々が問題にしている、積分そのものなのです。
行論から明らかなように、dｒはＰ→Ｑの向きでした。問題になっている装置では、内円筒→外円筒　の向きに電場ができていますから、dｒもまたＰ→Ｑの向きを正とする向きということになります。
そして、積分範囲とは、このdＲの向きをどの向きに取るかを示したものなのです。
積分範囲を　a→b と取れば、これはdｒをＥの向きに取ったことを意味し、b→a と取れば、これはdｒをＥの向きと正反対の向きに取ったことを意味します。
ですから
　電位差＝∫[a→b]Ｅ・dｒ
　＝－∫[b→a]Ｅ・dｒ
ということになります。
　
形式的な話になりましたが、定積分の積分因子dｒと、積分範囲の上底・下底 との関係から説明してみました。わかり難かったかも知れません。
　
結論を繰り返せば
　積分範囲を、電場の向きに一致するように設定すれば、　電位差＝∫[積分範囲]Ｅ・dｒ　
　積分範囲を、電場の向きと逆に設定すれば、　電位差＝－∫[積分範囲]Ｅ・dｒ
ということになります。

この回答へのお礼

積分範囲を伝播の向きと逆に設定することによって電位差の式でマイナスがついていたんですね。
ありがとうございました。

お礼日時：2013/05/03 14:20