積分 級数

画像の答えの導出を教えてください。
(1)は平均値の定理を使用してみましたがうまくいきませんでした.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/04/18 00:00

n=2 のときを証明してみてください.

No.2 回答者： gaki-tuka 回答日時： 2013/04/18 00:10

階段状に関数を近似してやれば解けます。

例えば、n-1≦x<nをf(n-1)と近似したときとf(n)と近似したときの∫f(x)dxとの大小関係を考える。

No.3 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/04/18 03:50

(1)

f は単調増加なので、k ≦ x ≦ k+1 の範囲で f(k) ≦ f(x) ≦ f(k+1)。
この式を k ≦ x ≦ k+1 の区間で積分すると、f(k) ≦ ∫[k～k+1]f(x)dx ≦ f(k+1)。
この式を k = 1, 2, …, n-1 について総和すると、与式となる。

(2)
(1)の式を変形して、f(1) + F(n) ≦ f(1) + f(2) + … + f(n) ≦ F(n) + f(n)。
f(x) > 0 より F(n) > 0 だから、式を F(n) で割って、
1 + f(1)/F(n) ≦ { f(1) + f(2) + … + f(n) }/F(n) ≦ 1 + f(n)/F(n)。
ここで n→∞ の極限をとれば、ハサミウチの原理により、
1 ≦ 1 + lim[n→∞]f(1)/F(n) ≦ lim[n→∞]{ f(1) + f(2) + … + f(n) }/F(n)
≦ 1 + lim[n→∞]f(n)/F(n) = 1。
すなわち、lim[n→∞]{ f(1) + f(2) + … + f(n) }/F(n) = 1。

この回答へのお礼

とてもわかりやすかったです。
ありがとうございます。

お礼日時：2013/04/18 22:28