座標変換について

座標変換について 回転座標変換を表す行列を
R=(R_ij)
と書く事にします。
v_i'=Σ【j=1→3】R_ijv_j
のように変換されるものとします。
ここで、

(1)
『座標変換で矢印(ベクトル)そのものは変わらないから、内積は回転しても変わらない』
とはどういうことですか？

(2)『そこで、任意のベクトル↑u,↑vに対して
Σ【i=1→3】u_i'v_i'=Σ【i,j,k=1→3】R_ijR_iku_jv_k=Σ【i=1→3】u_iv_i
が成り立たなければならない。このためには
Σ【i=1→3】R_ijR_ik=δ_jk
となっていることが必要十分である。』
などと書いてありましたが、この理由がわかりません。

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/04/24 16:31

内積を定義するには、いくつかやり方がある。

高校の教科書では、標準座標の上で
(u・v) = Σ ui vi と定義するが、
この方法は、座標変換で式形が変わってしまう。

線形代数の教科書では、
線型空間上の双線型関数として定義するのが普通。

そうすると、
線型空間に基底 { ei } を置いた際、
u = Σ ui ei, v = Σ vi ei より
(u・v) = ΣΣ ui vj (ei・ej) となって、
(ei・ej) を i 行 j 列成分とする行列 G を使い
(u・v) = (vの転置)Gu と行列積で表せる。
G は、基底の置き方によって変わり、
単位行列とは限らない。

u, v を座標変換すると、それに伴い
G の成分も座標変換を受ける。
u' = Au, v' = Av であれば、
(u'・v') = (v'の転置)G'u'
= ((Av)の転置)G'Au
= (vの転置)((Aの転置)G'A)u.
内積の値はスカラーだから、座標変換で変化を受けず、　…[*1]
(u'・v') = (u・v) = (vの転置)Gu.　
両者を係数比較すると、G = (Aの転置)G'A と判る。　…[*2]
A が正則であれば、G' = (A^-1の転置)G(A^-1).
これが、内積の座標変換である。

(1) の『座標変換で内積は変わらない』という表現は、
[*1] のように「値が変わらない」という意味で
言っているのなら正しいが、
(2) の『そこで』のように G' = G という意味で
使うのは、間違っている。
Σ u'i v'i = Σ ui vi は結果的に成立する式ではあるが、
質問文中の証明方針で、成立する理由が示せたとは言えない。

私なら、回転は正規直交基底を正規直交基底ヘ移すから、
G = (ei・ej) が単位行列であれば
G' = (e'i・e'j) も単位行列になる…と説明する。
その上で、[*2] から E = (Aの転置)EA を言えばよい。
G = E となるような座標系が存在することは、
また別に示さねばならないが…

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/04/24 00:32

(1): 座標変換する前としたあとで, 内積が変わらないってこと.

(2): 十分性は代入すれば簡単, 必要性は u, v としててきとうなものを突っ込む.