5番目の次元

Question

よく巷で語られる5次元世界があったとして、

我々が知る4次元時空と5次元世界を隔てる5番目の次元とは何か。

また4次元時空は5次元世界の射影（もしくは断面）であると考えられるのでしょうか。

（11次元や26次元の話は持ち出さないで下さい。）

lazydog1 · Accepted Answer

お礼、ありがとうございます。#6他です。

>4次元空間では楕円軌道は許されず、従って地球も月も彗星も4次元空間には存在できない。

その通りです。このことを言及した啓蒙書では南部陽一郎博士（紐理論創始者の一人）がブルーバックスのクォーク（現在、第2版とタイトルに付加されている）があります。ただ、星を周る惑星がないという割り切った記述です。

>しかし地球も月も彗星も3次元空間には現実に存在するのであるから、4次元空間は3次元空間の次元拡張にもならない。

この空間は3次元空間だから当たり前なんですが、何をお考えでしょうか？

>これは4次元空間は現実にはないというより、理論上も無意味である、物理学的に無意味であると結論する以外ないのではないか。

先の回答で説明済みです。

>当初の質問は物理学として理論的にうまくいってる5番目の次元とは何ですかというものです。

空間の方向です。もう一度だけ説明します。

2次元空間では1点で互いに直交する直線はちょうど2本。
　3次元空間では1点で互いに直交する直線はちょうど3本。
　4次元空間では1点で互いに直交する直線はちょうど4本。
　n≧2なる自然数nで一般化すれば、n次元空間では1点で互いに直交する直線はちょうどn本。

その直線を用い、直交している一点を原点とすれば、カーテシアン座標系（デカルト座標系）と呼ばれ、よく用いられます。

これらに1次元の時間軸を加えると、n+1次元時空になります。

物理学法則は、あまり一般化して記述しませんが、何次元でも数式の形式は変わりません。それが物理学理論の強みです。そして、次元数によって計算した結果は異なることもあります。

そうして同一形式の式ながら、4次元時空で可能なことが、他の次元の時空では不可能だという計算結果になることもあります。それが、重力や電磁気力といった遠距離力の強さとなり、物体の軌道に関わってきたりするわけです。

これ以上、特に説明することはないんですよ。知りたい場合は、自ら勉強するしかありません。

勉強さえすれば分かるように物理学はできていますが、どんな人にも分かるように説明する方法を物理学は持っていません。学問の常として、それは受け入れる必要があります。

lazydog1 · Answer

お礼、ありがとうございます。

当初の質問から逸れて行っていますね。そんなに未知の次元が怖いのであれば、適当なところで打ち止めにしておいてください。私の方は誰に対しても追加で何かあればお答えするようにしていますので。できる限り、ですが。

>これは実験結果も観測事実も無用の世界、数学ではなんら問題ありません。

そうですね。

>数学なら１００次元のベクトルを作ってベクトル演算するのは全く自由にできます。

そうですね。

>しかし物理学の基本は実験結果であり観測事実なのであるから、これらを欠いた理論を物理であると主張するのは相当に難しいんではないかな。

違いますよ。たとえば、宇宙の開始って理論先行、観測が後で、しかも傍証です。それはご存じなかったですか？

>物理＝数学ではありませんよね。

理論物理学⊂数学、でしょうね。実験・観測関連の物理学は、たとえば化学と数学の関係のようなものでしょうし、かなり化学に含まれてもいます。

>またこの質問は数学の質問ではなく、物理の質問ですよ。

その通りですよ。

lazydog1 · Answer

お礼、ありがとうございます。

>もちろん分かりますよ。

分かるように書きましたからね。あれで分からなかったら、勉強ということは取り下げようと思っていました。

>同じ２点であっても空間上の距離と射影された平面上の距離は異なります。
>座標が一つ増えるわけだから当然です。

当然ですね。そこも分かってもらわないと、やはり勉強自体が勧められなくなります。

>しかしここで問題にしてるのは5次元時空に存在しないものが、その射影として４次元時空に現れるわけがないということでしたよね。

射影はできますよ。それは数学なんですけど、物理学として自然言語で解釈すると、たとえば部屋の中にいきなり点が現れ、それが球となって大きくなり、また小さくなって行き、点となり消えてしまう。そういう現象になります。もちろん、観測事例はありませんが。

ですので、現れるわけがないとも申してはおりません。何を勘違いしているかは察していますが、そこは「こうだよ」と教えて済むわけではないんです。もう教えてますし、そこがどうしても理解できないでおられます。

そこを勉強なんですよ。

>やはり論点が違いますね。とゆーか論点がすり変わってます。

今はそう思えるでしょうね。継続的に勉強をしていると、「あ、そうか。それだけのことか」となる時も来るでしょう。頑張ってみてください。

分かってしまうとあっけないようでいて、しかし面白いですよ。なぜなら、今まで見えていなかった世界がいきなり大きく広がるからなんです。

lazydog1 · Answer

お礼、ありがとうございます。

自分では分からない≠あり得ない、ではないんですよ。

たとえばね、時空の微小距離ではこうなるんですよ。

2次元時空：ds^2=x1^2-x0^2
　3次元時空：ds^2=x1^2+x2^2x0^2
　4次元時空：ds^2=x1^2+x2^2+x3^2-x0^2
　5次元時空：ds^2=x1^2+x2^2+x3^2+x4^2-x0^2
　n次元時空：ds^2=x1^2+x2^2+x3^2+x4^2+…x[n-1]^2-x0^2

分かりますか？　式の形式は何次元でも同じです。しかし、2点間の距離（何次元時空であれ直線という1次元）は必ずしも一致しませんね。

一例ですが、こういうことがあるわけなんですよ。そういうことを勉強なさい、と申し上げているわけです。次元を変えてみることに興味があるなら面白いと思いますよ。

lazydog1 · Answer

お礼、ありがとうございます。#7他です。

>しかし空間の方向を一つ増やして4次元空間を作っても理論としてうまくいかなかったのではないですか。

うまくいっていますし、そう説明したはずですよ。

>このような4次元空間から現実の3次元空間は射影できない。

数学的にできていますし、そう説明したはずですよ。

>なぜなら地球も月も彗星も4次元空間には存在できないのだから。

ああ、そういうことですか。そこが分からなかったのですね。勉強してください。それは言いましたね？

>それでなぜこんな4次元空間が理論的にうまくいってるといえるのか、私には全く理解出来ませんね。

勉強しないからですよ。今の自分で何でも分かる説明があるはずだというのは幻想なのです。それは、大量の教科書があることからも簡単に分かります。

>物理法則についての基本的な考え方について
>「物理法則は数学的であるに違いない」あるいは「物理法則は数学的でなければならない」という発想の基に数学から出発するのも1つの考え方としてあるかもしれない。
>ただこれでは数学と物理学の見分けがつかなくなるので現実味は薄くなります。
>それでも良いと考えるのであれば11次元でも26次元でも100次元でも勝手に空間を作ることは簡単でしょうね。

非常に簡単です。物理学の基本言語である数学がそういう能力を持っているからなんですよ。

回答として、こう付け足すことに致しましょう。学問に限りません。おそらくそれ以上、もう何も申し上げることはないでしょう。

分からないからといって腹を立ててはいけない。世の中はあるべくしてあるのであって、質問者さまのご機嫌を取るためにあるのではない。

lazydog1 · Answer

お礼、ありがとうございます。#5他です。

>全く理解出来ません。

実地に計算したことがなければ分からないでしょうね。それは先に申し上げました。

>物理学の法則が成立するとは、単に数式の上でつじつまが合うことではなく、現実に起こる現象を説明できなければならない。

その通りです。そして5次元時空（4次元空間）は現実にはありません。もしくは、人類には観測の方法がない、さらには知らない次元の分の相互作用が存在しないと言い換えてもいいでしょう。

ですので、理論による推測だけとなります。現実に起こる現象が実験・観測できない以上、やむを得ない話です。

>彗星は楕円軌道を描いて太陽の周りを回っているのだからこの現実を説明できないと物理学とはいえませんよ。

4次元時空（3次元空間）では、現実を理論が説明できているのはご承知の通りです。

>だから地球や月や彗星が存在し得ない4次元空間は物理学ではない、こう結論して何が悪いのですか。

それが良くないのは、物理学法則の記述は次元に依存しないからです。

物理学ではないとしてしまうと、放棄されましたが紐理論（26次元）、現在も研究が進められている超紐理論（10次元）、M理論（11次元）といったもの、さらにはいったんは4次元時空以上を仮定した一般相対論まで放棄が必要となります。

相対論を捨ててまで、「見たことがないから物理学じゃない」とする必要はないわけです。観測できる範囲では理論の有効性は確認できますので。

もしご質問の意図が、当初の質問文から変わっているのであれば、その旨お知らせください。そうでないなら、当初の質問だけに絞ってください。

lazydog1 · Answer

お礼、ありがとうございます。#4他です。

>つまりこれは、3次元空間はこれ以上拡張することはできないことを意味しているんではありませんか。

違います。今の物理法則は空間が1次元以上あれば、何次元でも成立するようになっています（数学がそうなっている恩恵）。

その物理法則が空間の次元数が3以外でも成立するならば、「このような宇宙」はできないということです。これは物理学の法則が成立するとしての結論ですから、物理学的な拡張はできることをも意味しています。しかし、

>なぜなら、4次元空間にすると3次元空間の持つ性質は失われ、その結果地球も月も存在できなくなる。

は、ある意味、正解です。力の伝達が空間次元数にして4以上だと強すぎ、2以下だと弱すぎるのです。この宇宙のように、円軌道以外に楕円軌道も安定しているのは空間次元数が3の場合だけです。

もちろん、重力や電磁気力が距離の逆2乗に比例しない等、全く別の物理法則体系があるとすれば別です。それについては、現在の物理学は何も研究していないに等しく、全く推測能力を持ちません。

>拡張であるためには3次元空間は4次元空間の射影でなければならない。

これはそう申し上げたはずです。数学的にそうできるし、空間次元数を4以上にして、この3次元空間での物理現象を記述する、という話です。それは一般相対論で行われています。

lazydog1 · Answer

お礼、ありがとうございます。#3他です。

>全く分かりません。

数学的に実際に扱って見ないと分からないでしょう。それが物理学です。以下、物理学の数式としてのことだということに留意してください。

>では３次元空間にはなく、４次元空間にあるその次元とは何ですか。

この宇宙の3次元空間より、もう一つ方向があるものです。2次元空間（平面）と、この3次元空間の関係と同じです。

>その次元はどんな性質をもち、その次元によってどのように空間が拡張されるのか。

普通の空間の性質です。数学的に拡張しています。3次元空間の次元はどの方向も特に差異はないように、4次元以上の空間でも同じく際はありません。

2次元、1次元の空間でも同じです。0次元は点になるため、物理学では扱えません。

ただ、このような宇宙は3次元空間＋1次元時間（または4次元時空）でないとできません。

仮に3次元時空や2次元時空があるとすると、物質間にいかなる力も働かないため、星などができることがありません。

5次元以上の時空ですと、単独の星はできますが、恒星同士が連星や銀河を形成したり、恒星が惑星を持ったり、惑星が衛星を持つのは厳密な円軌道の場合だけとなり、確率として事実上あり得ないため（1/∞みたいな確率）、銀河、惑星、衛星といったものはできず、単に恒星が散在するだけになります。

lazydog1 · Answer

お礼、ありがとうございます。#2です。

>理論的にうまくいってる5番目の次元とは何ですか。

先の回答に書きました通り、『一般相対性理論』であり（新しい解釈と言えなくもない）、加えた次元は空間の自由度です（4次元空間＋1次元時間）。

lazydog1 · Answer

この世界は3次元空間ですね。1点で互いに直角に交わる直線は3本です。平面は2次元空間で、1点で互いに直角に交わる直線は2本です。3次元の物体が平面に影を落とせば、当然2次元空間の影です。

イメージしにくくなりますが、4次元空間であれば、1点で互いに直角に交わる直線は4本になります。もし、4次元の物体が3次元空間に影を落とせば、3次元の物体となります。

もちろん、その3次元の物体となった影は、さらに2次元空間（平面など）に影を落とすことができます。これは、4次元が5次元、6次元といくら増えても同じです。低い次元へ、次々と影を落としていくことができます。

時空は空間の次元に時間の次元を加えたものです。普通、時間の次元は1次元です。相対論がそういう見方をします。時間は「光速度×時間」として、単位を距離にして、空間とほぼ同等に扱います。時間差があることも、距離があると考えるわけです。

そうしたものを、都合に合わせて理論に使います。一般相対論でも、途中で仮に空間が4次元以上（時空が5次元以上）としたりします。さらには、5次元時空で成り立っているものを考えておき、この4次元時空について空間を1次元消して適用したりします。

相対論に限らず、物理学の数式は空間が何次元でも問題なく使えます。5次元時空以上で理論を考えるのに、何の支障もありません。そうした理論では、この宇宙が実際には5次元時空以上で我々がそれを認識できてないだけだと考えてもいいですし、単なる計算上のテクニックで4次元時空しか実体はないと考えてもOKです。

なお、時間の次元を2次元以上にすることは、理論的になかなかうまくいかないようです。仮にそういう世界があったとしても、それがどういう世界になるのかはよく分かっていません。

5番目の次元

お礼、ありがとうございます。

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この世界は3次元空間ですね。

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