問)2x^2-3xy-ky^2-10x+(7-k)y+12 が一次式の積となるような定数kの値を定めよ。
解)
xについての2次方程式
2x^2-(3y+10)x-ky^2+(7-k)y+12=0 …(1)
の判別式をDとすると、(1)の解は、 x=(3y+10±√D)/4 より、与式は、
(与式)=2{x-(3y+10+√D)/4}{x-(3y+10-√D)/4}
と因数分解できる。
D=(8k+9)y^2+2(4k+2)y+4
8k+9=0 つまり、 k=-9/8 のとき、 D=-5y+4
となり、与式はx,yの一次式の積とはならない。 …☆
k≠-9/8 のとき…略
(多分、この先はわかります)
☆について理由がわかりません。
√が外れないと何故一次式ではなくなるのでしょうか。
もし、√を外さなかったら何次式になりますか。
(一次式の定義も一緒に教えてください。)
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
D = (9+8k){y^2 + 4(1+2k)y/(9+8k)} + 4
= (9+8k)(y + 2(1+2k)/(9+8k))^2 + {4 - 4(1+2k)^2/(9+8k)^2}
従って、4 - 4(1+2k)^2/(9+8k)^2 = 0 から
(3k+4)(k+1) = 0
k = -1 又は -4/3
k=-1の時、√D = y-2 となりx,yの一次式になる。
k=-4/3の時、√(9+8k) = √-5/3 となるので√Dは虚数になる。
従って、k = -1
(この場合、k=-9/8 の議論は必要ないと思います。)
ありがとうございます。
とてもわかりやすかったです。
一次式に虚数や中身が定数でない平方根(例:√(-3y+2))が含まれることはないのでしょうか。
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