回転体の体積＆表面積について

区間[a, b]において，y= f(x) を x軸周りに回転してできる回転体の
体積V，及び表面積S の以下公式について質問があります．

◆V = π∫y^2 dx

◆S = 2π∫y √{(dx)^2 + (dy)^2}

（積分区間は，共に[a, b]）


回転体の体積における微少変化 ΔVは，円錐の体積変化
ΔV = (1/3)π*(y + dy)^2*(x +dx) - (1/3)π*y^2*x において，
y*dx = x*dy，及び y >> dy より (dy)^2≒0 を用いて，
ΔV = π*y^2*dx となることから，上記公式は理解できます．

しかし，回転体の表面積における微少変化 ΔSは，円錐の表面積変化
ΔS = π*(y + y+dy)*√{(dx)^2 + (dy)^2} において，
y+dy≒y と近似できる理由が不明のため，上記公式が理解できません．

回転体の表面積において，y+dy≒y と近似できる理由を教えていただけますでしょうか．
また，体積の考え方について，間違いがあれば指摘していただけますでしょうか．

よろしくお願いいたします．

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2013/07/31 05:07

演算子であるdx, dyと、正の実数Δx, Δyを区別しなくては。

円錐台の側面の面積ΔS
　　ΔS = π (y +(y+Δy))√((Δx)^2 + (Δy)^2)
　　Δy = (dy/dx)Δx
は（もちろん、導関数（ってか円錐台なんだから定数の微係数）(dy/dx)が存在するのが条件ですが）
　　ΔS = (2π y +πΔy)√((Δx)^2 + (Δy)^2)
　　= (2π y +π(dy/dx)Δx)√((Δx)^2 + ((dy/dx)Δx)^2)
ここで、
　　f(x) = lim(Δx→0) ΔS/Δx = (2π y)√(1 + (dy/dx))^2)
を考える。いわば、円錐台で近似を行う幅Δxを無限小にしてやるわけで、これによってy(x)が勝手にぐねぐねしていても、細かく区切って円錐台で近似してやることができる。
　こいつをxについて積分すると、y(x)はぐねぐねでも大丈夫で
　 ∫ f(x) dx = ∫(2π y)√(1 + (dy/dx))^2) dx
である。
　あるいは、曲線の道のり（円錐台なら母線）にそった座標sで積分するなら、（もちろん(dy/ds)が存在しなくては駄目ですが）
　　 Δs = √((Δx)^2 + (Δy)^2)
　　ΔS = π (y +(y+Δy))Δs
　　Δy = (dy/ds)Δs
において、
　　g(s) = lim(Δs→0)ΔS/Δs = 2πy
を考える。そうすればy(s)はぐねぐねでも大丈夫で、g(s)を積分すると
　　 ∫g(s)ds = ∫(2πy)ds
である。このことを形式的に
　　 ∫(2πy)√((dx)^2 + (dy)^2)
と書いてみるのは勝手だけれども、xとyは独立ではないわけで、その意味は上記の通りです。