剛体ポテンシャルの摂動の問題ですが合ってますか？

二次元剛体ポテンシャル
V(x,y)=0 for |x|<(L/2) ,|y|<(L/2)
V(x,y)=∞ otherwise
について基底状態のエネルギー固有値と固有関数を求めた後
摂動ポテンシャルΔV(x,y)=axy、(a:摂動パラメータ)に対してエネルギーのずれを一次近似で求める問題です。

（解）
Schrödinger方程式の解はu(x,y)=X(x)Y(ｙ)と変数分離可能であるから
X(x)=0
X(x)=A_x Cos[k x]+B_x Sin[k x]
境界条件X(±L/2)=0より非自明解が存在するためにはdet(・)=0より
k_n=n_x π/Lである必要がある。
したがってエネルギー固有値はE_xn=ħ^2 π^2/(2 m L^2) n_x^2
完全性関係式によって規格化すると
X_n(x)=√(2/L) Sin[n_xπx/L] for n_x=2,4,...
X_n(x)=√(2/L) Cos[n_xπx/L] for n_x=1,3,...
Y方向も同様にして
Y_n(y)=√(2/L) Sin[n_yπy/L] for n_y=2,4,...
Y_n(y)=√(2/L) Cos[n_yπy/L] for n_y=1,3,...
以上よりエネルギー固有値は
E[n_x,n_y]=ħ^2 π^2/(2 m L^2) (n_x^2+n_y^2)
と書ける。よって基底状態のエネルギー固有値は
E[1,1]=ħ^2 π^2/(m L^2)
固有関数は
u[1,1](x,y)=X_[1](x)Y[1](x)=(2/L) Cos[πx/L]Cos[πy/L]

摂動ハミルトニアンH'を考えるとH'=H_0+ΔV(x,y)
摂動論より基底状態のエネルギーE_0とすると一次近似は，
E_0(1)=<u_0(0)|H'|u_0(0)>=<u_0(0)|H_0+ΔV(x,y)|u_0(0)>=E_0(0)+<u_0(0)|ΔV(x,y)|u_0(0)>
したがってエネルギーのずれは
ΔE=E_0(0)-E_0(1)=-<u_0(0)|ΔV(x,y)|u_0(0)>=-a (2/L)(∫{-L/2,L/2}x Cos[πx/L]^2 dx)(∫{-L/2,L/2},y Cos[πy/L]^2 dy)=0
と求まる。

上のように摂動論を考えたところエネルギーのずれがゼロになってしまいましたがこの問題の解答としてはこれで合ってるでしょうか。エネルギー変化がないということは摂動ハミルトニアンが非摂動ハミルトニアンに等しいということで理解すれば大丈夫ですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2013/08/05 00:19

計算は合っているようです．

普通はエネルギーのずれは
ΔE = E_0(1)-E_0(0) = <u_0(0)|ΔV(x,y)|u_0(0)>
と定義するようです．

> エネルギー変化がないということは摂動ハミルトニアンが非摂動ハミルトニアンに等しい
> ということで理解すれば大丈夫ですか？

非摂動ハミルトニアンを H_0，摂動ハミルトニアンを H' として，
H_0 = H_0 + H' という意味ですか？
それとも H_0 = H' という意味ですか？
いずれにしろ，それは違いますね．
だって，式が違いますよ．
今の計算は１次摂動では H' によるエネルギー補正がゼロだということを示しただけで，
２次摂動なら H' によるエネルギー補正が現れます．

なお，H' が定数のときはエネルギーの値が定数分ずれるだけで
演算子としてのハミルトニアンは等価ですから，
こういうときは H_0 と H_0+H' は等しいという言い方をする場合もあります．
私見ではよい言い方とは思えませんが．

この回答へのお礼

計算は合っているようなので安心しました
エネルギー補正がゼロということですか・・・
もう少し勉強してみようと思います
ありがとうございました

お礼日時：2013/08/18 17:26