立体幾何の問題

図に示すように，一辺の長さLの正四面体の辺の中点を 5 個用いて正四角錐
（P-ABCD）をつくる。この四角錐の底面 ABCD から頂点 P までの距離hを，
Lを用いて表せ。

補助線とか引いていろいろやりましたが、結局できませんでした。

分かる方がいらっしゃいましたら、ご指導よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2013/08/11 02:26

こんばんわ。

＞正四面体の辺の中点を 5 個用いて正四角錐（P-ABCD）をつくる。
この正四角錐が本当に正四角錐になっているのか、ちょっと疑ってみると。
懐かしの中線連結定理より、すべての辺の長さが L/2であることがわかります。
あとは、そのような正四角錐だけをピックアップして考えればよいです。

おそらくこれがオーソドックスが答えでしょうが、もう一つ別解を。


正四角錐の体積を求めてから、高さを求める方法です。
点Pと4点A～Dをそれぞれ結んだとき、
・図で言うと上半分と奥側に「小さな正四面体」が現れます。
この正四面体はもとの正四面体の 1/2の大きさ（相似比）になっています。
よって、この小さな正四面体の体積は、もとの正四面体の 1/8になります。

・次に手前の辺（辺ADに平行になっているところ）の中点（点Q）をとり、
4点A～Dとそれぞれ結びます。するとここにも正四角錐が現れます。
そして、辺の長さが同じなので、P-ABCDと同じ体積をもちます。

・さらに、Q-ABCDの両脇にも小さな正四面体が現れています。

もとの正四面体の体積を Vとすると、
V＝ 正四面体×2＋正四角錐×4

となり、正四角錐の体積は V/8なので、正四面体の体積は V/4と求まります。
あとは三平方の定理を用いて正四角錐の体積を求め、
正四角錐の底面は一辺が L/2の正方形であることから、高さ：hが求められます。


いずれにしても、三平方の定理をフル活用することになりますね。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/08/11 02:23

別解:

6本の辺を各面の対角線とするような立方体の 1辺の長さは L/√2 で, 求める長さ h はその半分.

No.1 回答者： k14i12d 回答日時： 2013/08/11 02:05

各辺の中点を結んだ辺なので、底面の正方形の一辺の長さはL/2←(1)とわかります。

よって対角線の長さはL/√2←(2)となります。
ところで、Pも辺の中点にあることから、正方形の重心とPを結んだ線分と正方形は直交することがわかります。
重心とAを結ぶ線分の長さは(2)より、L/2√2とわかるので、A、P、重心のなす三角形に三平方の定理を用いたいので、APの長さを求めると、Pが中点であるので、△ADPは正三角形であることがわかるので、AP=L/2
よって三平方の定理を用いると、
AP^2-(Aと重心の線分の長さ)^2=h^2
⇔h=√(L/4-L/8)
⇔h=L/2√2