A 回答 (4件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.1
- 回答日時:
あまり覚えるものでもないかと。
回転体
断面は絶対に円
与えられた関数
上記の円の半径わかりそう
上記をもとに、積分ってなんだろな?
が、分かれば出来ると思います。
あと、面積の定義や体積の定義もわからなかったら調べた方が良いですよ。
No.2
- 回答日時:
バウムクーヘン型の回転体体積積分公式を使えば
V=2π∫[0→3/2] y(2√{1-(y-(1/2))^2}dy
で体積が求められます。
y-1/2=sin(t)と置いて置換積分すれば
y:0→3/2のときt:-π/6→π/2
dy=cos(t)dt
であるから
V=4π∫[-π/6→π/2]{(1/2)+sin(t)}cos^2(t)dt
=π∫[-π/6→π/2]{1+2sin(t)}{1+cos(2t)}dt
=π∫[-π/6→π/2]{1+2sin(t)+cos(2t)+2sin(t)cos(2t)}dt
=π((π/2)-(-π/3))+π[-2cos(t)+(1/2)sin(2t)][-π/6→π/2]
+π∫[-π/6→π/2]{sin(3t)-sin(t)}dt
=(5/6)π^2 +π{√3+(1/4)}
+π[-(1/3)cos(3t)+cos(t)][-π/6→π/2]
=(5/6)π^2 +(π/4)(1+4√3) -π(√3/2)
=(5/6)π^2 +{(1+2√3)/4}π ...(答え)
という具合。
[別解]
別の回転体の積分公式を使うなら
V=π∫[-1→1] {(1/2)+√(1-x^2)}^2 dx
-π∫[-1→-√3/2]{(1/2)-√(1-x^2)}^2 dx
-π∫[√3/2→1]{(1/2)-√(1-x^2)}^2 dx
=2π∫[0→1] {(1/2)+√(1-x^2)}^2 dx
-2π∫[√3/2→1]{(1/2)-√(1-x^2)}^2 dx
=π∫[0→1] {1+2√(1-x^2)}^2 dx
-π∫[√3/2→1]{1-2√(1-x^2)}^2 dx
=π∫[0→1] {5-4x^2-4√(1-x^2)} dx
-π∫[√3/2→1]{5-4x^2-4√(1-x^2)} dx
この続きは、教科書の積分公式を参考にすれば自力でやれるでしょう。
丸写ししても何の役にも立たないよ。ちゃんと教科書を復習して、理解できるレベルまで勉強し直さないとダメだよ。頑張ってください。
No.3
- 回答日時:
>x^2+(y-1/2)^2≦1、y≧0は添付の斜線部分(見難いですが)。
図の赤色点線部分の面積dsは、x=±√{1-(y-1/2)^2}から
ds=2√{1-(y-1/2)^2}dy
この部分がx軸の周りに回転してできる回転体の体積dvは
dv=2πyds=2πy*2√{1-(y-1/2)^2}dy=4πy√{1-(y-1/2)^2}dy
よって求める体積VはV=4π∫[y=0→1.5]y√{1-(y-1/2)^2}dy
ここでy-1/2=sinθとおくと[y=0→1.5]は[θ=-π/6→π/2]、
dy=cosθdθだから
V=4π∫[θ=-π/6→π/2]{(1/2)+sinθ}√(1-sin^2θ)cosθdθ
=4π∫[θ=-π/6→π/2]{(1/2)+sinθ}cos^2θdθ
=2π∫[θ=-π/6→π/2]cos^2θdθ
+4π∫[θ=-π/6→π/2]sinθcos^2θdθ
=2π∫[θ=-π/6→π/2]cos^2θdθ
+4π∫[θ=-π/6→π/2](sinθ-sin^3θ)dθ
=2π∫[θ=-π/6→π/2]cos^2θdθ
+4π∫[θ=-π/6→π/2]sinθdθ
-4π∫[θ=-π/6→π/2]sin^3θdθ
=2π{(1/2)θ+(1/4)sin2θ}[θ=-π/6→π/2]
+4π(-cosθ)[θ=-π/6→π/2]
-4π{(1/3)cos^3θ-cosθ}[θ=-π/6→π/2]
=2π^2/3+3√3π/4・・・答
(計算ミスご容赦)
No.4
- 回答日時:
No.2です。
ANo.2の訂正
V=…の式中
> =π((π/2)-(-π/3))+π[-2cos(t)+(1/2)sin(2t)][-π/6→π/2]
> +π∫[-π/6→π/2]{sin(3t)-sin(t)}dt
=π((π/2)-(-π/6))+π[-2cos(t)+(1/2)sin(2t)][-π/6→π/2]
+π∫[-π/6→π/2]{sin(3t)-sin(t)}dt
> =(5/6)π^2 +π{√3+(1/4)}
> +π[-(1/3)cos(3t)+cos(t)][-π/6→π/2]
> =(5/6)π^2 +{(1+2√3)/4}π
=(2/3)π^2 +π5√3/4-π(√3/2)
=(2/3)π^2 +(3√3/4)π ...(答え)
>[別解]
の方の積分も実行すると上の(答え)と一致します。
[別解2]
回転する領域の図形は添付図の黄色と水色と緑色の部分を合せた図形です。
図形ACODBFHEの面積S1は
S1=(√3/2)+(π/3)
図形ACODBFHEの重心は(0,1/2)であるから
パップス・ギュルダンの定理よりS1をx軸の周りに回転した体積V1は
V1=S1*2π*(1/2)=(√3/2)π+(1/3)π^2
長方形CDFEをx軸の周りに回転した体積V2は円柱の体積公式より
V2=π*1^2*√3=2√3π
両側の弓形図形ACLEとBDMFをx軸の周りに回転した2つの回転体の合計体積V3は
V3=V1-V2=(√3/2)π+(1/3)π^2 -2√3π=(1/3)π^2 -(3√3/2)π
弓形図形EHFGをx軸の周りに回転した回転体の体積V4は
バウムクーヘン形回転体の体積公式を使って
V4=2π∫[1→3/2] 2y√{1-(y-(1/2))^2}dy
=(1/3)π^2+(√3)(π/4)
以上から、求める回転体の体積Vは
V=V2+V3+V4=(2/3)π^2+(3√3/4)π
と同じ体積の結果が出ます。
参考URL:http://www.suguru.jp/culture/pappus.html
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 この分かる方解説していただきたいです。 問題5.x^2+y^2+z^2≤9から円柱x^2+y^2≤1 1 2023/01/16 10:06
- 数学 x軸をまたぐ場合について考えてます。 それぞれ体積、表面積の立式は合ってますか? y=b±√(a 2 2023/05/21 17:05
- 数学 大学の解析学の問題です。 ∮[0→1]2xdxをリーマン積分の定義に従って求めよ という問題がわから 4 2022/12/21 19:04
- 物理学 力学の微分の質問です。 答えを教えてください。至急です。 問題1ある軸の上を並進運動している物体の位 2 2023/01/31 15:10
- 数学 球の中心が正三角形の3辺をたどって1周したとき、球が通過してできた立体の体積を求めなさい。 1 2022/06/23 20:35
- 数学 数学の解法について こんばんは。最近数学の問題を解いています。証明問題を解いたのですが、解答とアプロ 4 2022/09/11 23:22
- 中学校 中1数学 比例のグラフの座標の読み取り 4 2023/03/28 12:26
- 化学 【至急】食塩水の密度の求め方 4 2022/09/04 19:42
- 数学 この問題で、 解説では全体の三角形から引いて求めてるのですが、自分はしたの写真のようにみどりと赤の部 2 2022/09/18 20:48
- 数学 不定積分を求める問題です。 3x/√2x-1 の不定積分を求めたいのですが、画像のように解いたところ 1 2023/05/13 18:05
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
積分計算(定積分)
-
数3の極限について教えてくださ...
-
扇形の図形に長方形が内接
-
位相がよく分かりません。 cos(...
-
cosx<0(0≦x≦2π)の範囲を教えて...
-
arccos0の値ってなぜπ/2なんで...
-
複素数のn乗根が解けません
-
数学3 定積分を求めるのに、x=2...
-
複素数について分からない
-
ん?複素数zがargz=π/2を満たし...
-
xcos2xのn次導関数を教えてくだ...
-
重積分の問題を教えてください。
-
三角関数の性質 -問題-
-
円の面積:πr^2の計算。なぜこ...
-
∫[0→∞] 1/(x^3+1)dx
-
数学のパラメータ表示の積分な...
-
極座標変換を用いる3重積分な...
-
∫_{0}^{π/4}dx/{sin²x+3cos²x}...
-
cos3θ+cos5θ=0となるθ
-
数学のレムニスケートについて...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
1 / (x^2+1)^(3/2)の積分について
-
逆三角関数の方程式の問題です...
-
数3の極限について教えてくださ...
-
cos π/8 の求め方
-
数学IIIの積分の問題がわかりま...
-
位相がよく分かりません。 cos(...
-
積分計算(定積分)
-
複素数のn乗根が解けません
-
arccos0の値ってなぜπ/2なんで...
-
sinθ・cosθの積分に付いて
-
扇形の図形に長方形が内接
-
1/5+4cosxの0→2πまでの積分で、...
-
cosx<0(0≦x≦2π)の範囲を教えて...
-
五芒星の角(?)の座標
-
重積分について
-
cos(10π/3)は計算可能ですか?
-
y=cosx(0≦x≦π/2)のy軸周りの回...
-
xsinx-cosx=0 の解と極限
-
回答者どもがなかなか答えられ...
-
1/(sinx+cosx)の積分
おすすめ情報