出産前後の痔にはご注意!

高校1年になった娘に付き合って20年ぶりに因数分解の問題を解いてみました。なんだかパズルをやっているようで意外と楽しかったのですが、因数分解や展開って、何かの役に立つのでしょうか?
こんな計算に使うと簡単に出来るよ、とかこういう数字を求めるときに使うものだ、とかありますか?
他にもいろいろな数学の公式とかがありますが、これらが実際何を求めるときに使うものかが知りたいです。

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A 回答 (10件)

いろいろな考え方があると思いますが・・・



因数分解や展開は、日常生活で簡単な暗算するのに使ったりしますね。No6さんに似てますが。

月収16万だったら年に・・・?とか思ったら、
12×16=(14+2)(14-2)=196-4=192 万かぁ、とか。
上の例は和と差の積の公式ですね。
私は1~20くらいの二乗の数は記憶しているので上のような計算が楽なのですが。

普通の掛け算の筆算も、展開を応用したものですよ。

456×789 = 456×(700+80+9)
 =456×700+456×80+456×9

    456
  × 789
-------
   4104
  36480
 319200
-------
  359784
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この回答へのお礼

なるほど~
ありがとうございます。XやYの式ばかり見ていると「これが何の役に立つの?」と思いますが、実際数字を当てはめてみるととてもよくわかります。
ありがとうございました

お礼日時:2004/04/10 20:14

こんにちは。



●因数分解は九九と同じ、基本的な計算で、ほかの事をするときの基礎になりますね。

例えば【数列】を知ってると、預金の利率から、何年でいくら利息がつくかとか、自分で計算できます。

(数列の公式を求めるときにも式変形があるので、因数分解・展開はもちろん必要になります。)

●それらが「自分」でできると、セールスマンなどに、数字を並べ立てられてもだまされにくくなりますね。

知らないばかりに損をすることがあっても、そもそも、知らないので、損をしていることに気づかなかったりします。

●いろいろな例を挙げればキリがないのですが、誰かが言った以下のような回答も結構おもしろいなではないでしょうか。

★「因数分解なんて将来何の役に立つの?」
という生徒の疑問に、先輩は
 「知識というものは何でもかじっておくということが大事であり、
  見たことがある、無いの差が社会に出たときに大きく違ってくる」
と諭した

参考URL:http://www.ryukyushimpo.co.jp/kinkou/kin26/k0402 …
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この回答へのお礼

数列を使った複利計算については高校の教科書にのっていました。こういうことがもっとわかればもう少し数学もやる気になるのに、と思っていました。

>見たことがある、無いの差が社会に出たときに大きく違ってくる

そうですね、勉強の意味のひとつとしてよく覚えておきます。

お礼日時:2004/04/10 20:12

>実際何を求めるときに使うものかが知りたいです。



日本人の生活について、身の回りにある ありとあらゆる 物は、数学が使われて作られた物です。 これが わからない 大人の感覚が、子供達の数理系学力の低下を招いているのでしょう。

物作りの現場に出たことが無い。あるいはそうした人達が公共の場で、物事を発言する機会(公共の側の興味)が無くなっているということでしょうか。
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この回答へのお礼

物作りの現場では数学はとても重要なことなんですね?
理数系の「理」は嫌いじゃないけどなんで「数」がつくんだ、と嘆いていた私でしたが、数学的センスは必要ですね。

お礼日時:2004/04/10 20:08

数学の公式を使うような専門職などつかないかぎりはっきり言って役に立たないとおもいます。


自論ですが、あくまでできるかできないかによって人間の学力に差をつけるための手段と言えるでしょう。現代の日本の学問には深く考えてはならないことがたくさんありますね。
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この回答へのお礼

それもそうなんですが・・
実際役に立つことがわかればもう少し勉強も楽しくなると思うんですが、それがわからずただ詰め込まれる勉強ではつまらないですよね。

お礼日時:2004/04/10 20:04

 掛け算を暗算でする時などに頭の中で考えています。

例えば
 12x14=(10+2)x(10+4)=10x10+(2+4)x10+2x4=168
 98x15=(100-2)x15=1500-2x15=1500-30=1470
これなど、右のほうなら暗算(足し算引き算)で可能なように思います。

 変わったところでは
 (1+0.03)^30=1+30x0.03+・・・・・=1+0.9+・・・・・
年3%の金利でも30年借りると、約倍返さなければならない!!
 年十数%の金利の消費者金融なら、ねずみ算的に増え、とても払えなくなるのでは・・・・
 政府の言う年金の支払額のなかの、金利分は・・・・・

 など、使い道を考えると、身近なところにもありそうですが
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この回答へのお礼

なるほど、そういえば頭の中ではこんな風に計算しています。
よくわかりました、ありがとうございます。

お礼日時:2004/04/10 20:02

高校レベルでお答えします。


因数分解は、方程式を解くのに使われる、非常に大切な技術です。
4次方程式 (x^4+12x^3+36x^2)+(13x^2+78x)+40=0
は簡単には解けませんが、因数分解したら、
左辺は4つの一次式の積
(x+1)*(x+5)*(x+2)*(x+4)
となり、この方程式は、4つの一次方程式
x+1=0 ,x+5=0 ,x+2=0 ,x+4=0
に分解できて、簡単に解けてしまいます。
もちろん、解は、
x=-1 , x= -5 , x= -2 ,x= -4
つまり、因数分解は、高次方程式を低次方程式に還元する働きがあるわけです。

(x^4+12x^3+36x^2)+(13x^2+78x)+40
のような多項式を「和・差」形の式、と見れば、
(x+1)*(x+5)*(x+2)*(x+4)
のような式は「積」形です。
「和・差」形の式を「積」形に直すことが「因数分解」です。
「2数を掛けて0になるとき、そのどちらか、または両方が0」
という数の性質がありますので、
(x+1)*(x+5)=0
からは、
(x+1)=0 または (x+5)=0
という結論が出せます。
これも、x^2+6x+5 という「和・差」形の式を(x+1)*(x+5)という「積」形にすることによって、0の性質が使えて、方程式が解ける例です。

もっと高度な例では、
sin(2x)+sin(4x)+sin(6x)=0
のような左辺が和差形の方程式でも、
和・差を積に変換する公式を用いると、左辺は
4sin(x)*sin(2x)*sin(3x) のように変形できて、
後は3つのより簡単な方程式
sin(x)=0 ,sin(2x)=0 ,sin(3x)=0
に分解できます。その結果 xを求めることができます。

ご質問の趣旨は、こうした事じゃなくて、
数学が日常出会っている何か(数学以外のもの)に、応用されている何か面白い実例はないか?ということでしょうか?
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この回答へのお礼

ありがとうございます
すごくよくわかりました。

>ご質問の趣旨は、こうした事じゃなくて、
>数学が日常出会っている何か(数学以外のもの
>に、応用されている何か面白い実例はないか?とい>うことでしょうか?
それも知りたいですが、とりあえず因数分解についてはよくわかりました。

お礼日時:2004/04/10 19:58

中学生・高校生に対してはあまり遠い話をしても理解されないので、


一番目先の目的として「方程式を解くため」と言ったりします。

現行の中学校の教育課程では2次方程式を解くために因数分解は必須ですし。
高校でもいろいろな場面で
「足し算の結びつきで書かれた式(多項式)をいくつかの掛け算に直して(因数分解)解かないといけなくなる」
ってなこともありますので。
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この回答へのお礼

ありがとうございます
そういえば数学の苦手な私でしたが、因数分解と方程式はパズル感覚で結構好きでした。つながりがあるんですね。

お礼日時:2004/04/10 19:55

計算機が発達していない昔は関数の性質を調べるのに、因数分解は重要だったと思います。



現在では、ややこしい関数が出てきても、パソコンに
すぐグラフを描かせて、「あー、こんな形なんだ」と
すぐにわかりますが。

展開は因数分解をやるための訓練だと思います。
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この回答へのお礼

ありがとうございます
なんだかコンピューターが出来て人間の「創造力」が減少しているのかもしれませんね

お礼日時:2004/04/09 21:29

ITの世界では、暗号技術などにも用いられています。


大学の情報系学科では、真っ先に教えられる部分です。
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この回答へのお礼

なるほど~暗号ですか、確かにそうですね。

お礼日時:2004/04/09 21:05

電気ではインピーダンスを求めるのに


複素数を使いますね。
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この回答へのお礼

インピーダンス?複素数?
ごめんなさいそもそもこの言葉がわからないです(^^;)

お礼日時:2004/04/09 21:04

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Aベストアンサー

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たとえば、2=1×2 と1と2しか約数がないので素数。
3=1×3
5=1×5
・・・
あと、7,11,13・・・と続いていきますが、
このように1とその数以外の約数を持たないものを言います。

それに対して、因数とは、ある数の約数のことです。
たとえば、10=2×5となりますので
2も5も、10の因数といえますね。
このように、素数の積に分解することを、素因数分解と言います。

http://www.shinko-keirin.co.jp/sansu/WebHelp/6nen1/61_05.htm



これに対して、因数分解とは、共通の項をくくりだすことです。

http://www.kgc.keio.ac.jp/sugakuka/3nen/insu.html

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参考URL:http://www.hokuriku.ne.jp/fukiyo/math-obe/sosuu.htm

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 平方根というのはなんの役に立つのですか。
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良い質問です・・・けど、つい最近、似た質問に回答しました。


やはり、代表例は三平方の定理でしょうか。
直角三角形△ABC(∠Bが直角)において、
AC = √(AB^2 + BC^2)



√3の例

正三角形の面積を求めるとき、底辺を正三角形の一辺とすれば、高さは
一辺×2分の√3です。
(三平方の定理を使うと、このように求まります。)


√2の例

用紙のサイズは、
A1、A2、A3、A4、A5、

B1、B2、B3、B4、B5
などがありますが、
これらは全部、長方形であり、その長辺の長さは短辺の長さの√2倍になっています。

以下、その説明。

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相似な長方形にするので、
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x^2 = 2a^2
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x = √2・a
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1:√2
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そのほか、

・振り子の周期と振り子の糸の長さとの関係
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 つまり、糸の長さを2倍、3倍・・・にしていくと、
 振れる周期は√2倍、√3倍・・・になっていきます。

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Q実生活で役に立つ数学ってありますか?

小学校レベルから大学レベルの算数、数学で、日常の生活に役に立つ事ってありますか?もちろん足し算引き算掛け算程度は必要ですが。
因数分解とかって頭の体操にしかならないと思うんですよね。
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タンジェントができると仕事が速い事を知り気になりました。

買い物や家計簿のテクニックから、これを知っていたから砂漠やジャングルから生還できたという話まで幅広く教えていただきたいです。

Aベストアンサー

関数は、タクシーでどこまで行くといくら、というような計算に使われます。
グラフ理論は、よく皆さんがお使いの乗り換え案内に。
微分は、経済の計算になくてはなりません。
三角関数は、以前お書きの方の通り、建築や距離計算に。
比例反比例は、電気系統のお仕事をされる方には必須です。
対数関数は、宇宙のような広大な広さのモノをグラフや表上に表すことや、
酸・アルカリのpH計算に使われます。

そして、物理学のほとんどは、数学をもとにして成り立っています。
つまり、地球上にあるものほぼ全てに物理が関係する以上、
数学は切っても切れないものです。

また、「はかりも何もない時、金塊を2人で両方から文句の内容に分ける方法」も、面白い数学の利用法です・・・一件、数学とは気づきませんが。

参考URLの様なページも見つけました。ご覧下さい。

なお、最初のお2人の方へのお返事は、いくらなんでも失礼かと存じます。
お詫びし書きかえるのがよろしいでしょう。老婆心ですが。

参考URL:http://ounziw.com/2009/01/22/%E6%97%A5%E5%B8%B8%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%84%AA%E7%A7%80%E8%B3%9E/

関数は、タクシーでどこまで行くといくら、というような計算に使われます。
グラフ理論は、よく皆さんがお使いの乗り換え案内に。
微分は、経済の計算になくてはなりません。
三角関数は、以前お書きの方の通り、建築や距離計算に。
比例反比例は、電気系統のお仕事をされる方には必須です。
対数関数は、宇宙のような広大な広さのモノをグラフや表上に表すことや、
酸・アルカリのpH計算に使われます。

そして、物理学のほとんどは、数学をもとにして成り立っています。
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Q概念「素数」の日常生活への応用

数学「素数」というものは、日常生活のなかで、何かに応用されていますか?


よろしくご教示ください。

Aベストアンサー

 既に簡単に触れてくださっている回答者様がおられますが、素数は暗号を作るのに非常に強力な道具となります。

 算数・数学でよく「素因数分解」ということをやります。ある数が、どういう素数の掛け算となっているか求めるものですね。これが、非常に大きな数だと物凄く大変になります。それは、やはり物凄く大きな素数の掛け算であるかもしれないからです。スーパーコンピューターで解こうとしても、何万年もかかるなんてものもあります。

 ところが、複数の素数をかけ合わせて大きな数を作るのは簡単なんです。素数を知ってさえいればいいわけですから。素数って非常に大きな桁数のものまで既に計算されていて、素数表が作られていますから、そこから二つ以上選んで掛ければいい。しかし、素因数分解するほうは素数を2から始めて、丹念に割り切れるかどうか試していかないといけません。


 数を作るほうは簡単、解くほうは困難ということです。そのため、素数の積を利用した暗号がよく用いられています。

 その他に、生物の生存戦略に素数が現われることが分かった事例があります。セミは長期間、幼虫の状態で地下にいて、繁殖のために短期間地上に成虫として現われます。セミの天敵はそこを狙って襲ってきます。

 例えば、セミが2年間地中にいて、天敵は同じように4年間だとします。最初にセミと天敵とが同じ年に孵化すると、セミは襲われて数を減らします。生き残ったセミが卵を産み、2年後に地上で孵化すると、そこには天敵はいません。セミは増えたい放題です。しかし、さらに2年後にセミが出てくると、計4年後ですから天敵は地上に出てきますから、またセミは襲われます。セミとしては孵化2回に1回は天敵と出くわすわけです。

 そのため、地上に出て来るのが素数の年数ごとのセミがいます。たとえば、7年ごとに地上に出てくるセミなら、7×4=28年ごとでしか(セミの孵化として4回に1回)、セミは天敵に出会いません。セミとしては数を増やしやすくなるわけです。

 それは自然のものであって、人工的な利用ではないですが、同じような工夫はちょこちょこと行われいます。残念ながら、メジャーなもの、有名なものはないようです(暗号への利用があまりにも強力すぎるのかも)。

 既に簡単に触れてくださっている回答者様がおられますが、素数は暗号を作るのに非常に強力な道具となります。

 算数・数学でよく「素因数分解」ということをやります。ある数が、どういう素数の掛け算となっているか求めるものですね。これが、非常に大きな数だと物凄く大変になります。それは、やはり物凄く大きな素数の掛け算であるかもしれないからです。スーパーコンピューターで解こうとしても、何万年もかかるなんてものもあります。

 ところが、複数の素数をかけ合わせて大きな数を作るのは簡単なん...続きを読む

Q因数ってなんでしょうか?

因数がよくわからないので教えてもらいたいです。

7の因数は1つ、30の因数は3つ、462の因数は3つ。

どういう理由でそれらの因数の数が出るのでしょうか?

Aベストアンサー

またまたstomachmanです。今度はきっちり用語を調べましたよ。(最初の回答と重複しますがご容赦あれ。)

(1)かけ算において「因子(いんし)」「因数」「約数」はみんな同じ意味です。
 ある数が、別の数で割り切れるとき、この「別の数」の方を指して「因子」とか「因数」とか「約数」と呼ぶのです。
従って、「ある数」が30ならば、30の因数は(自然数1,2,3,・・・だけに限って言えば)
1,2,3,5,6,10,15,30の8個あることになります。

*なんで、かけ算の話なのに「割り切れる」が出てくるか?(念のためですけど)
 それは、かけ算の反対はわり算だからですね。具体的には「30が5で割り切れる」というのは、式で書けば
30÷5=6(余り0)
ですが、これは
30=6×5
というのと同じ事だからです。

(2)もしどうしても「30の因数は3個だ」と参考書にでも書いてあるのであれば、その本は言葉を間違って使っています。この場合「因数」ではなく、「素因数(そいんすう)」が正しい用語です。「素因数」とは「因数のうちで、素数であるもの」のことです。
 「素数(そすう)」というのは(ご存知でしょうが)「1とその数自身以外に因数がないような数(ただし1と0は除く)」のことで、
2,3,5,7,11,13,17,19,23,....
と無限個あります。(また、素数でない数は「合成数」と言います。)
 どんな数も素数だけのかけ算で表すことができ、その表し方は1通りしかありません。この表し方のことを「素因数分解」といいます。
 だから、30を素因数分解すると
30=2×3×5
であり、30の素因数は2と3と5ですね。他に素因数はありません。
 さらに、1を除く因数は全て、素因数か、素因数同士のかけ算になります。実際、この例では、1以外の因数のうち素因数でないものは6,10,15,30であり、それぞれ素因数2,3,5を使って
 6=2×3
10=2×5
15=3×5
30=2×3×5
と表せますね。これらの因数は素因数のかけ算で表せる合成数なのです。

またまたstomachmanです。今度はきっちり用語を調べましたよ。(最初の回答と重複しますがご容赦あれ。)

(1)かけ算において「因子(いんし)」「因数」「約数」はみんな同じ意味です。
 ある数が、別の数で割り切れるとき、この「別の数」の方を指して「因子」とか「因数」とか「約数」と呼ぶのです。
従って、「ある数」が30ならば、30の因数は(自然数1,2,3,・・・だけに限って言えば)
1,2,3,5,6,10,15,30の8個あることになります。

*なんで、かけ算の話なのに「...続きを読む

Q三平方の定理って何の役に立つの?

「お母さん、三平方の定理って日常生活で何の役に立つの?」と子供に聞かれて考え込んでしまいました。私も習ってからすでに四半世紀が経っておりますが(汗) 日常で役に立った覚えがありません。
日常生活で役に立つから勉強をしているのではないのだ、ということは
わかっているようですが、素朴な疑問なのだそうです。
何か日常生活で役に立つのでしょうか? くだらない質問で申し訳ありませんがどなたかお答え願えないでしょうか?
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

ごく簡単な例を。
(1)3mと4mと5mの棒で三角形を作ります。
  このとき、正確な直角三角形が出来ています。
(2)丸太の直径を計るとそれから取れる柱(長方形)の厚みと幅は三平方の
  定理で計算できます。

Qマイナス-マイナスはなぜプラスになるか?

5-(-3)-4=4で、5-(-3)がなんで8になるの?と中学1年生の娘に質問されて、どうにもうまく答えられなかった。「マイナスひくマイナスはプラスになるの、そう決まっているの」と答えても納得してくれません。誰か、数学ならい初めの中学1年生にもわかるように、説明の仕方を教えて下さい。ちなみに高校の数学の先生に聞いても、うまく説明してくれませんでした。

Aベストアンサー

こんにちは

5-(-3)=5+(-1)x(-3)と同じです。
ですから、マイナス引くマイナスがプラスになるのではなくマイナスかけるマイナスがプラスになるのです。
では、なぜマイナスかけるマイナスがプラスになるかですが…

こんな風に考えてみたらどうでしょうか?
まず、任意のaに0(ゼロ)をかけることを考えます。
ax0=0(あたりまえです)
ここで、a=-1として
(-1)x(3-3)=0を分配法則にて考えましょう。
※(3-3)=0なのでax0=0と同じ事です。
(-1)x3+(-1)x(-3)=0 ですよね。
ここで、(-1)x3を右辺へ移行します。
簡単に言えば -3+(-1)x(-3)=0 なので(-3)を右辺に移行するには両辺に3を足せばいいですよね。
(-1)x(-3)=3
この結果を見れば、マイナスかけるマイナスはプラスになることがわかると思います。

Q微分積分って何に使うのですか?

文型なので、数学を高校だけで終了して15年余り、最近あるきっかけで簡単な微積分の勉強をすることになりました。よくわからなくてすみません、微分は放物線のある範囲の傾きを調べるために使うのでしたっけ?それでは積分は何のためするのですか?物理で必要なのはどんなときなのですか?きっと高校の時も受験のために必要としか感じていなかったので微積分がよくわからなかったのでしょうね。素人にわかるようによろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。

いちおう仕事で微分/積分に関わっているもので
それについてコメントさせて頂きます。

微分については、微小長さあたりの微小変動を捉えることができる手法ですね。実際として利用するのは、やはり移動距離から速度、そして加速度を求めるときなどに利用しています。
あと、振動波形などの線図データの特徴を捉える為に、微分して、”一定変動で無い部分はどこか” を探すのに利用したりもしています。微分すると一定変動で無い部分が顕著に現れますからね。あと微分値(傾き)が0になる所を見つけることによって波形データの頂点(折り返し点)を容易に見つけるということもやってます。

本題で積分についてです。方程式を区間積分すると、線図の面積を算出できますね。単純に、複雑な図形の面積を算出する際にも利用するのですが、他の使い方の方をワタシはメインに利用しています。
面積という捉え方は、「ある軸方向に捕われない純粋な量」として考えることができますので、長さ、速度 ではなく、エネルギ(仕事量)を積分によって求めることができます。
エネルギ(仕事量)という捉え方は、非常に有益で、いろんな数値(長さ、移動距離、速度)をミックスし、一つの値にまとめることが可能になります。
ようするに、”あの人はどのくらいガンバッテいるのか” という曖昧で一つの値では表現しにくいものについて、総合点というカタチで数値を求めることができる。しかもその総合点は他人との比較にも使える ということです。

身近なところでいうと、正方形の面積を求める手順で、縦方向と横方向の長さをかけて面積を算出していますが、あれは「横方向の長さ、縦方向の長さから、この正方形の総合点を算出している」とも捉えることができます。面積を求めるというのは積分することと同じことです。

実際には、材料力学などで「この板はどれくらいのダメージをうけているか」の”値”を求める際に利用されたりしています。ワタシは仕事の方で、こちらの方を実際に利用しています。

ご参考になりますでしょうか?

こんにちは。

いちおう仕事で微分/積分に関わっているもので
それについてコメントさせて頂きます。

微分については、微小長さあたりの微小変動を捉えることができる手法ですね。実際として利用するのは、やはり移動距離から速度、そして加速度を求めるときなどに利用しています。
あと、振動波形などの線図データの特徴を捉える為に、微分して、”一定変動で無い部分はどこか” を探すのに利用したりもしています。微分すると一定変動で無い部分が顕著に現れますからね。あと微分値(傾き)が0になる所を...続きを読む


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