行列計算で、できること

Question

先日、
MatLabの超初心者講習に
お呼ばれしてきたのですが、

すごいですね！
非常に興味深いです。

何だか、何でもできそう…
と、言う点で
何も知らずに、Pcを初めて手に入れちゃった。！！
そんな、デジャブー的なものを
感じました。

ただ
Pcでも同じですが
やはり「何ができるか」を知り
能動的に活用しないと
立ち上げただけでは
何もできないのが必定、
ですよね？…

MatLabは、行列演算が基本とか
そこで　質問させてください。

行列演算
多種多様なことができそうで、
現在もなお
研究すらされてそうですが
何ができるのでしょうか？

我ながら、バカな質問だ
とは、思いますが、
どうぞ　宜しくお願い致します。

stomachman · Accepted Answer

まずはご質問に対する答から。
　有限次元のベクトルaとベクトルbの内積 Σa[i]b[i] を計算する関数であって、ただしa, bの各成分が関数を含む式であるようなものも許す、という関数は、「万能チューリングマシンの実装の一つ」であることが知られており、GPS (General Problem Solver）と呼ばれます（なお、初期の人工知能プログラムに同名のものがありますが、全く無関係）。ここで「万能チューリングマシンの実装の一つ」とは、すなわち、GPSに適切なベクトルa,bを与えることによって、あらゆる計算が可能だということ。そして、「あらゆる計算」というのは、「どんな計算メカニズムを使ってもいいからトニカク有限のステップでできるような、答が一つに決まる計算」ならどれでも、ってことです。要するに、ベクトルa, bがプログラムとデータ、内積の計算がプロセッサになってる訳です（が、その詳細を理解するには、計算の理論について沢山勉強しないとね）。

次に、関数を成分としない、データだけの行列の話。
　行列演算だけであらゆることを効率よくやろう、ということを目的とした行列演算セットとしては、APL(a programming language)という名前のシステムが、大昔（1970年代後半）にIBMによって（PL/Iの次を担う言語として満を持して）販売された（が商業的には完全に失敗した）のが、多分、最初じゃないかなあ。これは計算機の構造のひとつ「ベクトル計算アーキテクチャ」を意識したものだと思います。APLの処理系もまた万能チューリングマシンの実装の一つで、プログラムは文字列で書いた式として与え、データは数値や文字列だけを成分とする行列です。プログラムには「普通とは違う文字ヘッド"MATH"を装着したタイプライタを使い、一度打った文字の上にバックスペースで戻って別の文字を重ね打ちする」というやりかたで作る演算記号が頻出するという、ヘンな所に凝った言語なんですが、それはさておき。
　行列演算と言っても、おなじみのものばかりとは限りません。
　APLで基本になるのも内積演算ですが、それを一般化したものが使える。つまり内積が「成分ごとに掛けたものを全部足す」であるのに対して、「掛け」と「足す」の部分を別の演算に置き換えることができる。
　もう一つ重要なのは、ブール値(真≠0か偽=0）を成分とするベクトルbと、データのベクトルdから、「dをbで圧縮したものc」を作る演算（すなわち、成分b[i]が真であるようなiについてだけd[i]を並べて作ったベクトルc）と、「cをbで展開したものd」（すなわち、成分b[i]が真であるようなiについてだけd[i]にベクトルcの成分を順に割当て、他のdの成分は0にしたもの）を作る演算です。これらを使うと、条件分岐（Cのif文に相当）が記述できる。
　ただし、ループを記述するには「→n」で「n行目に戻れ」を表すというとんでもなくヤバンな手段を使うんですが。
　このような行列演算を組み合わせることで、大抵のデータ処理プログラムが1行で書けちゃうというのがAPLの特徴で、したがってAPLのプログラムは短いけれども何をやってるのか読み解くのは大変である。

stomachman · Answer

いささかユニークなシステムをご紹介。
mc (matrix calculator)というプログラムで、インタラクティブな操作もできるし、プログラミングもできる。これは秋田脳研(秋田県立脳血管研究センター)の西村弘美氏が開発して無償頒布したもので、元々はMacで医療画像の画像処理をやるためのアプリケーションです。画像を画素の配列として扱うわけで、行列の計算や画像処理に関わる膨大な数値計算ライブラリはもちろんのこと、思いつくものは何でも追加しちゃいました的な構造です。ただし、データの入出力は文字列で行う。医療画像は機器メーカーごとにデータのフォーマットが不統一であった時代が長く、何かやろうとするたびに互換性が問題になってましたんで、もう全部数字にしちゃえ、というラジカルな発想。結局mcはナント、CalendarMemoという「メモを書くためのアプリケーション」に統合されたようです。 ( http://mcalc.zapto.org/mcalcHome/index.html )　もう、ほとんど個人的趣味でやってるんでしょうね。

tknakamuri · Answer

N階の線形微分方程式とか、ラプラス変換とか
簡単に解けちゃいます。職業柄あまり使いませんが
たまに楽しんでます。

MatLabは高価なので、個人でやるなら、互換性の高いフリーの 
Scilab がお勧めです。

sirayaki · Answer

個人的にはたいした計算しか使わないので、不自由したことはありません。「Matlabは是か非か」
http://ie.u-ryukyu.ac.jp/funaki/2012/06/05/matlab%E3%81%AF%E6%98%AF%E3%81%8B%E9%9D%9E%E3%81%8B/
には、遅いので大規模な実験はできない旨書かれています。
　あなたがどのように使われるか判りませんが、余程のことが無い限り、ご心配無用でしょう。

foomufoomu · Answer

仕事で、けっこう行列計算を使います。
おもな使い道は、

つるかめ算的な・・・行列演算の一つの目的は、大きな連立1次方程式を効率よく作ることです。行列の結合、分解を使います。しかし、これは、ほとんどの場合、専門書に乗っている式をそのまま使うだけです。自分で行列の式を考えるのは、たいていは次の場合。

立体座標計算、力などのベクトル計算・・・おもに３×３、４×４の行列を使うのですが。行列演算の良いところは、2次元で考えた式が、たいていそのまま3次元、4次元、・・・でも通用することです。なかでも、つぎは絶対必須。
・直行行列の例としてあげられることの多い、座標の回転変換の行列。
・交差角度を求める内積の計算。
・面の法線を求める外積の計算。

工学系の仕事をするなら、算術を重要な順にあげると
四則演算→微積分→行列計算
ここまでは、どの分野でも必須といえます。あと、分野によっては、複素数、極限、確率、などが続くのですが。。。

stomachman · Answer

ちょっと調べましたんでANo.1に追記。
　APLは元々はハーバード大で考案されたもので、1962年に出版(Kenneth E. Iverson, A Programming Language)。「数学記号の統一と、計算手順の明確化」が目的だそうで、高校数学の教育にも用いられたとか（すると、生徒たちはAPL特有の[右から左へ計算する]という計算順序に従って、"-2+3×2+1" は "-11" だと教えられたことになる…可哀想に）。

行列計算で、できること

まずはご質問に対する答から。

いささかユニークなシステムをご紹介。

N階の線形微分方程式とか、ラプラス変換とか

個人的にはたいした計算しか使わないので、不自由したことはありません。

仕事で、けっこう行列計算を使います。

ちょっと調べましたんでANo.1に追記。

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　まずはご質問に対する答から。

　個人的にはたいした計算しか使わないので、不自由したことはありません。