確率の問題(神大過去問)

お世話になっております。

次の問いについて質問です。「2n個の白玉とn個の赤玉を直線上にデタラメに並べるとき、……」
以下色々な事象について問う小問が続くのですが、全事象の定め方が思っていたのと違っていたため、この部分のみ質問させていただきます。

私は、白玉も赤玉も同じものを含むとして、
(3n)!/(2n)!n! としました。初めは単純に(3n)!かと思いましたが、根拠のない違和感で前者を全事象の総数として定めて後の小問も解いてしまい、全滅でした。
結局、回答には「すべての玉に区別がないとする」ことから、(3n)!が全事象の総数だったのですが…。

例えば、n=2 とでもしたら、それこそデタラメにならべる方法は6!/4!2! になりそうなものですが、そうではないという事になりましょうか。

この期に及んで、情けない話ですが、アドバイスいただけると有り難いです。

No.3 ベストアンサー 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2013/10/15 21:26

>それこそデタラメにならべる方法は6!/4!2! になりそうなものですが、そうではないという事になりましょうか。

全事象をどう設定するかは問題しだいです。想像ですが、あなたのように設定しても正しく求まるはずです。具体的に小問がどうであったか、あなたがどう計算したかを書けば的確な回答が得られますよ。

この回答への補足

ご指摘の通り、全事象の定め方は間違いでしたが、結果は一致しました。一部、nPrの変形をしてないだけで解は同値でした。もう少し、吟味すれば良かったです。申し訳ありませんでした。

一応問題を載せます。

2n個の白玉とn個の赤玉をデタラメに並べるとき、次の確率を求めよ。
(1)直線上に並べるとき、赤玉どうしが隣り合わない
(2)円周上に並べるとき、赤玉どうしが隣り合わない

以下(1)の私の解

全事象は、n{U}(3n)!/(2n)!n! 。赤玉どうしが隣り合わないようにするには、既に並んだ2n個の白玉の列の合計(2n+1)個の間と両端に一つずつ赤玉が入れば良いから、
n{A}=1×[2n+1]C[n]。※A=当該事象
よって、P(A)=[2n+1]P[n]・(2n)!/(3n)! 私はここまで、

以下解答では
玉全てが異なるものとして、全事象n(U)=(3n)!、
当該事象の場合の数は、n(A)=(2n)!・[2n+1]P[n]。

よって、P(A)=(2n)!・(2n+1)!/(3n)!・(n+1)! ∵　nPr=n!/(n-r)!

(2)も似たようなものです。
長ったらしくて申し訳ありません。

補足日時：2013/10/15 22:26

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

むむむ！ 計算ミスが無いか、もう一度調べ直します。

お礼日時：2013/10/15 22:01

No.4 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2013/10/15 22:57

>ご指摘の通り、全事象の定め方は間違いでしたが

ですから、全事象の定め方が間違っている訳ではありません。全事象の数 (3n)!/(2n)!/n!　でＯＫです。
(1)の事象の数を2n+1Cn=(2n+1)!/(n+1)!/n!としたのも間違いありません。確率は(2n+1)!(2n)!/(3n)!/(n+1)!であってます。
単純な計算ミスでしょう。もちろん玉をすべて区別して、全事象を(3n)!と設定してもOKです。大事なことは設定した全事象の個々が同様な確からしさで起こるととらえられるかどうかです。

この回答への補足

くどくなって申し訳ありません。

結局、全事象の定め方は問題によって何通りかある、ということで今回は締め切ろうと思います。私の場合、ちょっとパターンに頼りすぎているので、もう少し広く考えられるよう演習積み重ねる必要がありそうです。

PS　計算ミスではなく、式変形をしていなかっただけのようです。順列記号などは崩さないといけないようです。

いずれにしても、新しい課題が見つかったのは有り難いことです。

補足日時：2013/10/16 00:01

この回答へのお礼

度々ご指摘いただきすいません。
「区別するか否か」という点ですね、胆は。
例えば、2個のサイコロを同時にふる、というのはサイコロに区別をつけて全事象を定めますよね。例えば、(1,6)と(6,1)は区別するように。
これと同じようなことが今回の質問内容についても言えるのでしょうか。

お礼日時：2013/10/15 23:38

No.2 回答者： bgm38489 回答日時： 2013/10/15 20:58

出鱈目に並べるのだから、玉の色は考慮しなくてもいい。

例えば、仮にたまにナンバーをつけてみると、ｎ＝１の時なら、123456,123465…としてもいいわけだ。
ｎ＝２だったら、出鱈目に並べる方法は6!。総てのパターン数を求めるのに、赤玉白玉を気にすることはない。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
一番基本的で大事な部分ですね。改めて整理し直します。

お礼日時：2013/10/15 22:27

No.1 回答者： housyasei-usagi 回答日時： 2013/10/15 20:52

単純に色の組み合わせのパターンがいくつあるかなら(3n)!/(2n)!n! 間違いなし。

n=1　3!/2!/1!=3

赤白白　白赤白　白白赤

白を白１　白２と区別すれば
(3n)!となります。

n=1 3!=6

赤白１白２　赤白２白１　白１赤白２　白２赤白１　白１白２赤　白２白１赤の６通り。

小問がどんなものかわかりませんが、上記どちらを使うかは正しく判断しないと間違います。

n=2は流石に書いていられない

赤赤白白白白を考えても

赤１赤２と白１白２白３白４
赤２赤１と白１白２白３白４

赤だけでも２通り
白の場合４！＝２４通

見かけ上　赤赤白白白白でも、順番違えば２×２４＝４８通りもあるわけで。

さらに赤の位置を変えれば　（赤白赤白白白・赤白白赤白白・・・・・）
赤の位置は６個のうち２個選べば６Ｃ２＝１５

４８×１５＝７２０＝６！つまりは(3n)!

おわかりいただけたでしょうか？説明下手で申し訳ない。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。ご回答をいただいた後もう一度整理したところ、No.3様の補足にあるようになりました。
　解答では、「全ての玉に区別があるものと仮定」して推論したという事になるのでしょうか。
　私の場合、即座に「同じものを含む順列」をイメージしたために、この仮定には違和感を感じました。(私の最初のアプローチは教科書的には間違いとなりましょうか)

いずれにしても、ご丁寧な説明をありがとうございました。

お礼日時：2013/10/15 22:33