絶対値

||x|-2|=√(|(X＾2)-4x|＋4)
を求める際に
どうして|x^2-4x|＝x^2-4xなのですか？
もし
x＜-2のとき
|x^2-4x|＝-(x^2-4x)にはなりませんか？

No.7 ベストアンサー 回答者： mickel131 回答日時： 2004/04/19 20:47

方程式

||x|-2|　=　√(|(X＾2)-4x|＋4)　　---(1)
を解け。
-------------------------------------------------------------
[解答]
　|(X＾2)-4x|＋4 は(1)の根号内の式で、０以上であるから、(1)の両辺を２乗して、
（|x|-2）^2　＝　|(X＾2)-4x|＋4 ---(2)
左辺を計算して、
|x|^2 - 4|x| +4 ＝|(X＾2)-4x|＋4
（x^2） -4|x| ＝|(X＾2)-4x|　-----(3)

ⅰ）x ≦　0　のとき、
　　　　　　(X＾2)-4x ≧0 で|x|＝-x ,|(X＾2)-4x|＝(X＾2)-4x
　　　　　　であるから、(3)は、（x^2） +4x =（x^2）-4x となり、　8x=0 　から　x=0---(4)
　　　　　　この値は　x ≦　0　を満たしている。
ⅱ）0≦ x　≦4 のとき、
　　　　　　(X＾2)-4x ≦0 で、|x|=x , |(X＾2)-4x|＝-{(X＾2)-4x}=-(X＾2)+4x　であるから、
(3)は、（x^2） -4x ＝-(X＾2)＋4x　となり、
2（x^2）-8x = 0 ,（x^2） -4x =0 , x(x-4)=0 , x=0,4---(5)
この値は　0≦ x　≦4　を満たしている。
ⅲ）4≦x のとき、
(X＾2)-4x ≧0 で、|x|=x ,|(X＾2)-4x|＝(X＾2)-4x　であるから、
(3)は、（x^2） -4x =(x^2）-4x
この両辺はxの値に関係なく常に等しい。
したがって、4≦xを満たすすべての実数x---(6)
が(3)を満たす。
以上から、求める解は、
　　x=0 および　４以上のすべての実数x
--------------------------------------------------
少しカットして短くしました。

この回答への補足

いろいろととても詳しい説明をしてくださってありがとうございます。
ほとんどわかりましたが、最後の答えがよくわかりません。
x=0 および　４以上のすべての実数x
が、どうしてこのことが言えるのでしょうか？

補足日時：2004/04/20 22:24

No.9 回答者： mickel131 回答日時： 2004/04/22 06:44

No,8訂正

解の値の集合は、
「０以下の解の集合」と「０以上４以下の解の集合」と「４以上の解の集合」の和集合になります。

「０以下の集合」　ではなく「０以下の解の集合」と訂正してください。

No.8 回答者： mickel131 回答日時： 2004/04/21 20:39

Ｎｏ．７の補足での質問に対して回答。

-----------------------------------------------
(3)の解を、
ⅰ）x ≦　0　のとき、と
ⅱ）0≦ x　≦4 のとき、と
ⅲ）4≦x のとき、
の３つの場合に分けて調べました。

ⅰ）x ≦　0　のとき、（３）は、x=0---(4)
という解を持ち、
ⅱ）0≦ x　≦4 のとき、（３）は、x=0,4---(5)
という解を持ち、
ⅲ）4≦x のとき、（３）は、4≦xを満たすすべての実数x---(6)
という解を持ちます。

xの値は、
x ≦0　または　0≦ x　≦4　または　4≦x
の３つに分類できます。
求める方程式の解の値は、
０以下、または、０以上４以下、または　４以上
の３つに分けることができます。
解の値の集合は、
「０以下の集合」と「０以上４以下の解の集合」と「４以上の解の集合」の和集合になります。
したがって、その要素は、(4),(5),(6)より、
x=0　と　x=0,4　と　4≦xを満たすすべての実数x
となり、
x=0 および　４以上のすべての実数x
と言えます。
以上から、求める解は、
　　x=0 および　４以上のすべての実数x

No.6 回答者： eatern27 回答日時： 2004/04/17 13:46

#2です。

以前にも同じ事を質問してたんですね。

#2での回答は忘れてください。以前の質問を見たら,少し、論点が外れている気がしたので。(#2での回答が間違えているわけではないです)


他の方のご回答から、
x^2-4x≧0⇔x≦0,4≦x
x^2-4x＜0⇔0x<4
というのが分かったでそしょうか？

なので、
x≦0,4≦xのとき、|x^2-4x|＝x^2-4xとなり、
0<x<4のとき、|x^2-4x|＝-(x^2-4x)となります。

前の質問の#7さんへの補足を見る限り,前の質問の#1さんのご回答の

＞イ）x＜-2のとき
・・・
＞-(x+2)=√(x^2-4x+4)

という部分を見て,疑問に思ったようですが、
「x＜－2のとき」という条件があるので、上に書いた通り,|x^2-4x|＝x^2-4xとなります。

No.5 回答者： mickel131 回答日時： 2004/04/17 13:36

方程式

||x|-2|　=　√(|(X＾2)-4x|＋4)　　---(1)
を解け。
この問題に回答します。
-------------------------------------------------------------
説明の都合上、
Ａ＝|x|-2　,Ｂ＝|(X＾2)-4x|＋4
とおきます。
Ｂは√記号の中に入っていますから、０以上です。
したがって、√（Ｂ）を２乗するとＢになります。
(√（Ｂ）)^2＝｜Ｂ｜＝Ｂ
(｜Ａ｜)^2 ＝Ａ^2
（正の数も負の数も２乗すると正の数になりますから、
Ａの２乗と(-Ａ)の２乗はいつでも等しいです。
｜A｜の２乗とＡの２乗はどちらもＡ^2
になります。）
-----------------------------------------------------------------
[解答]
(1)の左辺が０以上であるから、(1)の右辺も０以上の実数である。このための必要十分条件は、根号内の式|(X＾2)-4x|＋4　が０以上であることである。ところが、|(X＾2)-4x|≧0 であるから、|(X＾2)-4x|＋4≧4＞0 であり、「(1)の右辺の√内の式は０以上」が常に成り立っている。
(1)の両辺を２乗して、
｜|x|-2｜^2　＝ ||(X＾2)-4x|＋4 |
　|(X＾2)-4x|＋4 は(1)の根号内の式で、０以上であるから、
（|x|-2）^2　＝　|(X＾2)-4x|＋4
左辺を計算して、
|x|^2 - 4|x| +4 ＝|(X＾2)-4x|＋4
（x^2） -4|x| ＝|(X＾2)-4x|　-----(2)
場合に分けて、(2)の絶対値をはずす。
ⅰ）x ≦　0　のとき、
(X＾2)-4x ≧0 で
|x|＝-x ,|(X＾2)-4x|＝(X＾2)-4x
であるから、(2)は、
（x^2） +4x =（x^2）-4x , 8x=0 , x=0---(3)
この値は　x ≦　0　を満たしている。
ⅱ）0≦ x　≦4 のとき、
(X＾2)-4x ≦0 で、
|x|=x , |(X＾2)-4x|＝-{(X＾2)-4x}=-(X＾2)+4x
であるから、(2)は、
（x^2） -4x ＝-(X＾2)＋4x
2（x^2）-8x = 0 ,（x^2） -4x =0
x(x-4)=0 , X=0,4---(3)
この値は　0≦ x　≦4　を満たしている。
ⅲ）4≦x のとき、
(X＾2)-4x ≧0 で、
|x|=x ,|(X＾2)-4x|＝(X＾2)-4x　
であるから、(2)は、
（x^2） -4x =（x^2）-4x
この両辺はxの値に関係なく常に等しい。
したがって、4≦xを満たすすべての実数x---(4)
が(2)を満たす。

以上から、求める解は、

　　x=0 および　４以上のすべての実数x
--------------------------------------------------------------------
検算していないので、間違っているかもしれませんが、解答方針については、自信あり、です。

No.4 回答者： googoo900 回答日時： 2004/04/17 13:03

x≧0のとき

|x|=x
x＜0のとき
|x|=-x
はわかると思います。
すなわち、絶対値記号内の値と0との大小関係で場合わけが必要です。

絶対値記号の中の式を一旦ｔに置きかえて、ｔと0との大小関係で場合分けをする必要があります。
t=x^2-4xとすると
t=x^2-4x=x(x-4)ですので、
・t≧0は[x≧4、x≦0]となり、このとき|x^2-4x|＝x^2-4x
・t＜0は[0＜x＜4]となり、このとき|x^2-4x|＝-(x^2-4x)
です。


左辺も同様に(もっとややこしい)場合分けが必要です。

あなたが書かれている、
『もし
x＜-2のとき
|x^2-4x|＝-(x^2-4x)にはなりませんか？』
は100%間違っているわけではありませんが、数学として正解ではありません。
(わずかにかすった程度でしょう)

No.3 回答者： mickel131 回答日時： 2004/04/17 12:28

>どうして|x^2-4x|＝x^2-4xなのですか？

一言で答えると、「何の条件も付けずに、|x^2-4x|＝x^2-4x　とすることはできません。」

｜3｜＝3
絶対値記号｜　｜は、記号内（この場合３）が０以上のときは、とりはずすことができます。
x^2-4x　≧0 のとき（x^2-4x　が０以上のとき）
|x^2-4x|＝x^2-4x
とすることができます。

ところが、
｜-3｜＝ -3
は、誤りで、
記号内が０より小さいときは、勝手にとりはずすことはできません。
｜-3｜は　-3 を使って表現すると -3*(-1)
｜-3｜= 3 =(-3)*(-1)
です。
a が０より小さいときは、
｜a｜＝a
は誤り（なぜなら、右辺が負）で、正しくは、
｜a｜＝ - a
となります。（- a は正）

だから、
x^2-4x　≦0（x^2-4x　が０以下）のときは、
|x^2-4x|＝ -(x^2-4x)
としなければなりません。
---------------------------------------------------------------------
以上のようなことは、とっくにわかっている、のでしたら、あなたのわかっていない点は、２次不等式だと思われます。
----------------------------------------------------------------------
[後半]
もし
x＜-2のとき
|x^2-4x|＝-(x^2-4x)にはなりませんか？

なりません。x＜-2のとき、というx の範囲が間違っています。
x^2-4x　＜0 のとき、|x^2-4x|＝-(x^2-4x)
と書きました。
x^2-4x　＜0 となるのは、0＜ x ＜4 のときです。
つまり、0＜ x ＜4 のとき、|x^2-4x|＝-(x^2-4x)
--------------------------------------------------------------------
２次不等式　x^2-4x　＜0　の解き方。
まず＜を＝に換えて、先に2次方程式を解きます。
　x^2-4x　＝　0　
　x(x-4) ＝0 と因数分解して、
x = 0 ,4
２次式　x^2-4x　の値は、この 0,4を境にして変わります。２次不等式の解は、0<x<4　となります。
-------------------------------------------------------------------
＠（２次不等式の解き方について、補足）
Y=x^2-4x　のグラフを思い浮かべると、下に凸の放物線ですね。x　軸と交わり、その交点が、x =0 と4のところです。
すると、x <0 のときは、グラフがx軸より上にあるから、Y　>　0　,よって、x^2-4x >0
また、0<x<4 のときは、グラフがx軸より下にあるから、Y < 0 ,よって x^2-4x < 0
そして、x >4 のときは、グラフがx軸より上にあるから、Y　>　0　,よって、x^2-4x >0

これをまとめると、
x <0 のときと、x >4 のときは、x^2-4x >0
（このとき、|x^2-4x|＝x^2-4x　　）
0<x<4 のときは、　x^2-4x < 0
（このとき、|x^2-4x|＝-(x^2-4x)　）　

２次不等式　x^2-4x >0　が成り立つxの値の範囲（＝不等式の解）は、x <0 , 4 < x
２次不等式　x^2-4x <0　が成り立つxの値の範囲（＝不等式の解）は、0 < x < 4
--------------------------------------------------------------------
前の質問のときの#1さんの解答は、場合分けが多すぎて面倒そうです。最初に２乗してしまうやりかたの方がいいと思いますよ。　

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2004/04/17 12:26

＞x＜-2のとき

＞|x^2-4x|＝-(x^2-4x)にはなりませんか？
なりません。x<-2のときは、|x^2-4x|＝x^2-4xになります。
|x^2-4x|＝-(x^2-4x)
となる可能性があるのは0＜x＜4のときですね。


＞どうして|x^2-4x|＝x^2-4xなのですか？

任意のxに対して,右辺≧２となるので、左辺≧２が必要です。
ここから、x＝0,|x|≧4であることが分かり、|x^2-4x|＝x^2-4x、となります。

(細かい説明は省きましたので、細かい所はご自分で考えてください)


でも、|x^2-4x|＝x^2-4xってどこに書いてあったのでしょうか？何の説明もなしに、|x^2-4x|＝x^2-4x、と書くことはないと思うのですが。

No.1 回答者： winterofmeei 回答日時： 2004/04/17 10:40

x=-10の時、

(-10)*(-10)-4*(-10)より
０未満にはなりませんが……？