大学数学の最大値・最小値の問題です

大学数学の極値の問題です。

関数f(x,y)=x^2+xy+y^2のD={(x,y) ∈ R^2 | x^2+y^2≤1}における最大値、最小値を求めよ。

という問題です。
ヒントとして「円の内部における極致（２変数関数の極値）と円周上での極値

（条件付き極値）を調べよ。）というのが与えられています。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/11/18 23:48

極座標にしちゃえば簡単.

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2013/11/19 09:09

大学入試試験の数学ですか，それともどこかの大学の講義の内容ですか。

前者なら

x=rcost,y=rsint(０≦r≦１，0≦t<2π）

としてｆを計算すればよい。

後者なら

ラグランジェの未定乗数法。間違っても前者を使わないように。

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2013/11/26 15:59

f(x,y)=x^2+xy+y^2=(x+y/2)^2+(3/4)y^2≧0

等号はx+y/2=y=0のとき つまり x=y=0のとき成立。
x=0,y=0は D={(x,y) ∈ R^2 | x^2+y^2≤1}に含まれる。
したがって、x=y=0のときf(x,y)は最小値f(0,0)=0をとる。

z=f(x,y) (D={(x,y) ∈ R^2 | x^2+y^2≤1})のグラフを描くと添付図のようになる。
f(x,y)が最大となるのはDの境界線:x^2+y^2=1上である。
　F(x,y)=f(x,y)+t(x^2+y^2-1)=(x^2+y^2+xy)+t(x^2+y^2)
とおきラグランジュの未定乗数法(参考URL参照)を適用すると
　Fx(x,y)=2x+y+2xt=0
　Fy(x,y)=x+2y+2yt=0
　Ft(x,y)=x^2+y^2-1=0
これを解いて停留点を求めると、
　A:x=1/√(2),y=1/√(2),(t=-3/2)
　B:x=-1/√(2),y=-1/√(2),(t=-3/2)
　C:x=1/√(2),y=-1/√(2),(t=-1/2)
　D:x=-1/√(2),y=1/√(2),(t=-1/2)
添付図から
　t=-1/2のとき極小値 f(1/√(2),-1/√(2))=f(-1/√(2),1/√(2))=1/2 (点C,D）
この極小値は原点(0,0)における最小値 0より大きい。
　t=-3/2のとき極大値 f(-1/√(2),-1/√(2))=f(1/√(2),1/√(2))=3/2（点A,B)
　この極大値が 領域Dにおける最大値である。
　(添付図の点A,点Bで最大値=3/2をとる)

参考URL：http://homepage2.nifty.com/eman/analytic/lag_met …