親子におすすめの新型プラネタリウムとは?

トルクを慣性モーメントで割ると角加速度が出ると思うのですが
どうして出るのでしょうか?
トルク:N
角加速度:α
慣性モーメント:I
式はN=α・I
単位だけで見ると
N・m = rad/s^2 × kg・m^2
で一見関係が無いように見えますが・・・
感覚的に、軽くて小さなものと重くて平べったいものを同じスピード(加速度)で回すときは
後者の方がかなり力がいるのはわかるのですが・・・
式から関係性が見えません・・・
どなたかご存知の方、詳しい方、ご教示いただけますでしょうか?

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A 回答 (4件)

単位だけに注目します。



1Nは1kgの質量の物体を1m/s^2で加速させる力の大きさです。
つまり
1N=1kg・m/s^2

つまりトルクの単位は
N・m=kg・m/s^2・m=kg・m^2/s^2
となります。

慣性モーメントと角加速度の積は
kg・m^2・rad/s^2
となりますが、角度の単位radは無次元量(長さを長さでわったものだから)ですので無視できます。つまりこの積は
kg・m^2/s^2
とあらわせることになり、これはトルクの単位と等しいことがわかります。
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この回答へのお礼

お世話になります。
大変お忙しいところ本当にありがとうございます。
下記の部分は何故無視できるかお教えいただけると大変助かります。
よろしくお願いいたします。
>無次元量(長さを長さでわったものだから)ですので無視できます。

お礼日時:2013/12/11 16:44

ANo.1お礼について



>rθ=距離

円弧の長さで,直線距離ではありません。(が,θが十分に小さければ直線距離の近似値としても使えます。)円周に沿った距離とは言えるかもしれません。

>rθ'=速度

円運動の場合は速度でかまいません。

>rθ''=加速度

円運動の加速度は,円運動をさせるための円の中心を向いた加速度(向心加速度)と,回転数を増やすための円周方向の加速度の二つがあります。これはその内の後者の加速度成分です。円運動の加速度というと普通は前者の向心加速度と捉えられかねないので,単に加速度といってしまうのはどうかとおもいます。
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この回答へのお礼

大変ありがとうございました。
良くわかりました!!

お礼日時:2013/12/13 12:39

1radとは半径r、弧の長さrの扇型の中心角です。

radは弧の長さの半径に対する比なのです。
ですので
rad=m/m
と表現できます。つまり次元だけ考えると約分されて無次元です。
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基本的には運動方程式。



本当はベクトルでやらないといけないのですが,
わかりやすさ優先でスカラーのみでやります。

質点の運動方程式は

ma = F

半径rの円運動しているとすると速度がrθ'なので,回転方向についてはa = rθ''('は時間微分)で,働いている力のうち回転させるための力だけをFと書き直すことにすると

mrθ'' = F

になります。(ベクトルでやるとこのへんがもう少し厳密化されます。)

この両辺にrをかけます。

mr^2θ'' = rF

定義から,mr^2は質点の慣性モーメントI,rFがトルクNなので

Iθ'' = N

剛体の場合は剛体内の全ての点でθ''が等しいので,この式を剛体内の点の全てについて足し合わせて(積分),足し合わせた結果を改めてI, Nと書き直せば同じ式が剛体の回転の運動方程式になります。(このへんもきちんと書けば長くなるので省略。)
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この回答へのお礼

お世話になります。
大変お忙しいところ本当にありがとうございます。
rθ=距離
rθ'=速度
rθ''=加速度
という理解でよろしいでしょうか?

お礼日時:2013/12/12 13:09

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Q加速度と角加速度の関係について

速度と角速度の関係は
中心から質点までの距離がr,質点の速度がv,とすると
角速度ω=v/r [rad/s]
になると思うのですが,
加速度と角加速度の関係は
中心から質点までの距離がr,質点の加速度がa,とすると
角速度α=a/r [rad/s^2]
となるのでしょうか?
ご教示よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

半径rが定数とすれば、その通りです。
加速度、角加速度はそれぞれ速度、角速度の単位時間の変化量(時間微分)ですので、加速度は「a=dv/dt」、角加速度は「α=dω/dt」と表せます。
同時に、角速度の式「ω=v/r」の両辺を時間で微分すれば「dω/dt=(dv/dt)/r」となり、この式はすなわち「α=a/r」となります。
ただし半径rそのものが時間関数r(t)の場合はこの限りではありません。

Q慣性モーメントの単位

慣性モーメント単位が kgf・m^2 と表されているのですが、なぜ kgf なのでしょうか?
また、単位変換して kg・m^2 にするにはどうすればよいのでしょうか?
どなたか、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

SI単位系では、慣性モーメントの単位はkg・m^2です。
ですが、重量単位系:力をW(kgf)として、力の単位にN(ニュートン)を用いないで慣性モーメントを定義する場合にkgfが現れます。それでも、慣性モーメントの単位はkgf・m・s^2です。ではkgf・m^2とは何なのかというと、GD2(ジーディースクエア)といって、正式には慣性モーメントではないが慣性モーメントの前段階のような値、ということです。例えば、円柱の上下方向の慣性モーメントはSI単位系では1/2MR^2(M:質量、R:半径、単位はkg・m^2)ですけど
これをGD2で表すと、1/2WD^2(W:重量、D:直径,単位はkgf・m^2)となります。重量は質量と値は等しいですが"質量"ではなく力です。つまり、質量に重力加速度がかかっています。ですから、慣性モーメントにするにはgで割る必要があります。また、直径の2乗で定義されてるから、半径の2乗に直すためさらに4で割ります。
それで、単位がkgf・m^2
からkgf・m・s^2となるわけです。ですが、相変わらず
kgfが入っているのでこれをSI単位に変換するには、
重量M=質量W(ただし値のみ。単位は異なる)であること
を利用し、1/2WD^2[kgf・m^2]をW→M、D→Rとし、4で割って、改めて単位をkg・m^2と置けばいいのです。他の慣性モーメントについても、全ての項がWD^2となっているから、同様に4で割り単位をkgf・m^2→kg・m^2とするだけです

参考URL:http://www.keiryou-keisoku.co.jp/databank/kokusai/torukusi/torukusi.htm

SI単位系では、慣性モーメントの単位はkg・m^2です。
ですが、重量単位系:力をW(kgf)として、力の単位にN(ニュートン)を用いないで慣性モーメントを定義する場合にkgfが現れます。それでも、慣性モーメントの単位はkgf・m・s^2です。ではkgf・m^2とは何なのかというと、GD2(ジーディースクエア)といって、正式には慣性モーメントではないが慣性モーメントの前段階のような値、ということです。例えば、円柱の上下方向の慣性モーメントはSI単位系では1/2MR^2(M:質量、R:半径、単位はkg・m^2)ですけど
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Qモーターのトルクと回転数

なぜモーターのトルクと回転数は反比例の関係になるのですか?

Aベストアンサー

質問中には書かれていませんが、モーターの出力が一定のもとで
ということが必須の条件です。

モータ理論の基礎中の基礎で 出力(W)=角速度×トルク
すなわち
P=ωτ  但しP:出力 ω:角速度(2π×回転数/60) τ:トルク

出力が一定であればモータ速度とトルクは相反関係にあります。
尚通常のモータにおいては、出力が一定ということはまずありませんので
負荷トルクの変動に比例して出力(=一般てきには入力電流)が変動
します。

QNをkgに換算するには?

ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?一応断面積は40mm^2です。
1N=9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか?
ただ、式の意味がイマイチ理解できないので解説付きでご回答頂けると幸いです。
どなたか、わかる方よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。

kgfはSI単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


>>>
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Nの力で引っ張るのと同じですか?」
ということですか?

・・・であるとして、回答します。

40kgのおもりなので、「おもりにかかる重力」は40kgfです。

重力は万有引力の一種ですから、おもりにも試験片にも、地球からの重力はかかります。
しかし、試験片の片方が固定されているため、見かけ、無重力で、試験片だけに40kgfの力だけがかかっているのと同じ状況になります。

試験片にかかる引っ張り力は、

40kgf = 40kg×重力加速度
 = 40kg×9.8m/s^2
 = だいたい400N

あるいは、
102グラム(0.102kg)の物体にかかる重力が1Nなので、
40kg ÷ 0.102kg/N = だいたい400N


>>>1N=9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか?

いえ。
1kgf = 9.8N
ですね。


>>>一応断面積は40mm^2です。

力だけでなく、引っ張り応力を求めたいのでしょうか。
そうであれば、400Nを断面積で割るだけです。
400N/40mm^2 = 10N/mm^2 = 10^7 N/m^2
1N/m^2 の応力、圧力を1Pa(パスカル)と言いますから、
10^7 Pa (1千万パスカル) ですね。

こんにちは。

kgfはSI単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


>>>
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Nの力で引っ張るのと同じですか?」
ということですか?

・・・であるとして、回答します。

40kgのおもりなので、「おもりにかかる重力」は40kg...続きを読む

Q摩擦力と角加速度とトルクの関係

物を回すときにそのものに働く摩擦力は回す速度(角加速度)に影響されないのでしょうか?
早く回すと大きな力(トルク)が必要な気もしますが、それは物体の重さと形によって決まる慣性モーメントのせいであって摩擦力自体は同じなので摩擦力分の力(トルク)は変わらない様な気もしますし・・・
角加速度が早くなった場合の摩擦力分の力(トルク)はどのような計算になるのでしょうか?
いままで摩擦を無視して計算しておりましたが、そうも言ってられなくなりましたので
どなたかご存知の方か詳しい方、ご教示お願いいたします。

Aベストアンサー

補足です。Tma「摩擦力によるトルク」で角速度の関数かという点です。

(1)回転体表面に板材等で圧力をかけているクーロン摩擦によるトルクであれば、基本的にはF=μNで動摩擦係数と垂直抗力のみの関数です。
(2)摩擦はエネルギの散逸ですから、エネルギは熱に変わります。その熱が板に伝導し板のヤング率を下げるほど温度上昇すればNが下がるためTmaは下がります。
(3)摩擦係数自身も温度が上がれば厳密には下がります。材料と接触部の面あらさ次第です。トライボロジーの分野となります。

以上「摩擦によるトルク」以外情報が無い中、可能性として考えられる要因を列挙しました。後は設計者として要求仕様を満足する機構を設計されればいいのではないでしょうか。

Q回転運動での角速度・角加速度の違い 物理初心者です

回転運動での角速度・角加速度の違いが明確にわかりなせん。

 角加速度は、どれだけ移動したかを示すもの?
それは、角速度とどう違うの??
本当にわかっていなくてすみません。
簡単な例を交えて教えていただけると助かります。

Aベストアンサー

角速度は「回転速度」で、
コマやタイヤの回っている速さ
(1秒間に何回、何度、何ラジアンまわったか?)
で、
角加速度は、角速度(回転速度)が
加速具合、減速具合を表します。

加速しているときは角加速度は正の値、
減速しているときは角加速度は負の値になります。
急加速しているときは、角加速度は正の大きい値になり、
急ブレーキの場合は、角加速度は負の大きい値になります。

コマをまわしたとき、初めはコマの軸のまわりの角速度(回転速度は速いですが、だんだん角速度(回転速度)遅くなってきて最後には止まります。
コマはゆっくり減速しますので、角加速度は負の小さい値になっています。

Qモータの駆動トルクと負荷トルク

モータの駆動トルクと負荷トルクがわかりません。
駆動トルクはモーターが生み出すパワーで、
負荷トルクは負荷を動かすために必要なパワーでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

そういう解釈でおおよそ問題ないと思います。
駆動トルクというのはモーター側かた見たもので、負荷トルクというのは負荷側からみたものというふうな解釈ですね、極端な言い方をすれば駆動トルクは回転させようとする力で、負荷トルクはモーターを止めようとする力といったところでしょうか、あと外力トルクと呼ぶものもあります。これは負荷トルクとは区別されて例えば静止しているモーターに負荷するものとは別の力が作用したときにこう呼ぶようです。
具体例としましては、クレーン等は静止していても屋外に設置されていれば風の影響を受けます。こういった場合風による外部からの力ということで外部トルクと呼んでいるようです。

Qモータ出力W=回転速度[rad/s]  x 必要トルクT [Nm] ですか?

直径10cm、500gの円盤 を 600rpm で回転させるのは 何W必要ですか?


1 rps = 60rpm = 6.283 rad/s
として
600rpm = 62.83 rad/s


直径10cm、500gの円盤 を 600rpm(62.83 rad/s) で回転させる時に
必要なトルクT  である時は、


(1)機械出力W=回転速度[rad/s]  x 回転力(トルク) [Nm]
というのは間違っているのでしょうか?


モータの場合
入力電力 = 機械出力  + 損失
入力電力W = 電圧V x 電流A
機械出力W=回転速度[rad/s]  x 回転力(トルク) [Nm]
モータ効率= 機械出力/ 入力 x 100
と本に解説がありましたが、



(2)この時のトルクの求め方は、慣性モーメントから求めるのではなく
実測でトルク計測以外に方法はないのでしょうか?
トルク < 半径0.1m x 重さ0.5kg みたいなので概算しては駄目なのでしょうか?



なんだかこんがらがって前に進めません、
よろしくお願い致します。

直径10cm、500gの円盤 を 600rpm で回転させるのは 何W必要ですか?


1 rps = 60rpm = 6.283 rad/s
として
600rpm = 62.83 rad/s


直径10cm、500gの円盤 を 600rpm(62.83 rad/s) で回転させる時に
必要なトルクT  である時は、


(1)機械出力W=回転速度[rad/s]  x 回転力(トルク) [Nm]
というのは間違っているのでしょうか?


モータの場合
入力電力 = 機械出力  + 損失
入力電力W = 電圧V x 電流A
機械出力W=回転速度[rad/s]  x 回転力(ト...続きを読む

Aベストアンサー

> 回転速度一定の場合でも、抵抗があると
> 機械出力は0Wということはないと思います。

実際には少しは抵抗があり、これはその通りです。しかし、出力を求めるためには抵抗の大きさを汁必要がありますが、抵抗の大きさはここで与えられている情報からでは推測しようがありません。原理的に不可能です。

何のために円盤を回すのでしょうか?これにベルトなどを付けて他の物につなげるのなら、ベルトの材質、それからベルトの先が何につながっているかなど情報がないと何ともいえません。

仮に純粋に円盤を回すだけだとします。そうすると抵抗は微々たるものです。だから皆さんの答えは出力は0Wとなっているわけです。もちろん、厳密に考えれば少しの抵抗はありますが、その抵抗はたとえば円盤の軸受けの性能にも依るでしょう。空気抵抗は円盤の微妙な形に依りますし、完全な円だとしても表面の材質に依存します。おっしゃるとおり多少の損失は現実に存在しますが、**円盤の半径と質量からだけでは損失の大きさは原理的に求まりません。**

ほかにもいい解答がたくさん出ているので、良く読んで落ち着いて考えてみてください。何が問題となっているのか、何を見過ごしているのかが、分かるはずです。必要な情報が分かったらまた質問もしてくださいね。

> 回転速度一定の場合でも、抵抗があると
> 機械出力は0Wということはないと思います。

実際には少しは抵抗があり、これはその通りです。しかし、出力を求めるためには抵抗の大きさを汁必要がありますが、抵抗の大きさはここで与えられている情報からでは推測しようがありません。原理的に不可能です。

何のために円盤を回すのでしょうか?これにベルトなどを付けて他の物につなげるのなら、ベルトの材質、それからベルトの先が何につながっているかなど情報がないと何ともいえません。

仮に純粋に円...続きを読む

Q円盤の慣性モーメントが求めれません。

面密度ρの一様な円盤の中心周りの慣性モーメント

J=(mR^2)/2
となるのですがどうしてなるのか分かりません。

よろしくお願いします!

Aベストアンサー

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

で求まります。実際にやってみます。
dA=π(r+dr)^2-πr^2
=π(r^2+2rdr+dr^2-r^2)
=π(2rdr+dr^2) (5)

となるんですが、drはめっちゃ小さいんで2乗の項は無視します。
dA=2πrdr (6)

ですね。この式(6)を式(3)に代入します。
dm=2πρrdr (7)

式(7)を式(2)に代入します。
J=∫r^2・2πρrdr
=2πρ∫r^3dr (8)

見にくいんで書きませんでしたが、rの積分区間は0~Rです。
回転軸から端っこまでですから♪
積分を実行すると、
J=(πρR^4)/2 (9)

になります。
ここで、円盤の質量mは次式で与えられます。
m=πρR^2 (10)

式(10)を式(9)に代入すれば出来上がりです♪
J=(mR^2)/2 (11)

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

...続きを読む

Q電気自動車のモータのトルクから加速度の求め方

電気自動車のモータのトルクから加速度の求め方

1490[kg]の電気自動車があるとします。
電気自動車の動力源はモータなので、発進時に最大トルクが得られその値が67.7[Nm]です。
ここで、車の車輪の半径が0.302[m]だとすると、車輪にかかる力は、67.7/0.302=224.2[N]と求まります。
ここで、F=maより加速度を求めると、a=0.15[m/s^2]となり、とても自動車とは思えない加速度が出てきてしまうのですが算出方法がおかしいのでしょうか?
教えてください。

Aベストアンサー

よく考えると、静止摩擦力Fは未知数ですから、#1だと式が足りませんね。
もう一つの式は、車の並進運動についての運動方程式
F = M×a
です。(Fは静止摩擦力、Mは車の質量、aは車の加速度)
タイヤは4つあるので、左辺は 4F のほうがいいかもしれませんが。

もう一度、きちんと、式を書けば、
・タイヤの半径をr
・モーターのトルクがT,
・タイヤの慣性モーメントをI
・車の質量M
・タイヤと地面との間の静止摩擦力をF (未知数)
・角加速度α (未知数)
・車の加速度a (未知数)
として、
・ T - r*F = I*α  …タイヤの回転に関する運動方程式
・ a = r×α     …タイヤの角加速度と車の加速度の関係(タイヤがスリップしない条件です)
・ F = M×a     …車の並進運動の運動方程式
です。未知数3つ、式3つで解けます。

さらに、実際には転がり摩擦も考えたほうがいいのでしょうが、とりあえず省略しています。


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