角加速度とトルクと慣性モーメントの関係

トルクを慣性モーメントで割ると角加速度が出ると思うのですが
どうして出るのでしょうか？
トルク：N
角加速度：α
慣性モーメント：Ｉ
式はN=α・Ｉ
単位だけで見ると
N・m = rad/s^2 × kg・m^2
で一見関係が無いように見えますが・・・
感覚的に、軽くて小さなものと重くて平べったいものを同じスピード（加速度）で回すときは
後者の方がかなり力がいるのはわかるのですが・・・
式から関係性が見えません・・・
どなたかご存知の方、詳しい方、ご教示いただけますでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2013/12/10 23:41

単位だけに注目します。

1Nは1kgの質量の物体を1m/s^2で加速させる力の大きさです。
つまり
1N=1kg・m/s^2

つまりトルクの単位は
N・m=kg・m/s^2・m=kg・m^2/s^2
となります。

慣性モーメントと角加速度の積は
kg・m^2・rad/s^2
となりますが、角度の単位radは無次元量(長さを長さでわったものだから)ですので無視できます。つまりこの積は
kg・m^2/s^2
とあらわせることになり、これはトルクの単位と等しいことがわかります。

この回答へのお礼

お世話になります。
大変お忙しいところ本当にありがとうございます。
下記の部分は何故無視できるかお教えいただけると大変助かります。
よろしくお願いいたします。
>無次元量(長さを長さでわったものだから)ですので無視できます。

お礼日時：2013/12/11 16:44

No.4 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2013/12/12 14:21

ANo.1お礼について

＞rθ=距離

円弧の長さで，直線距離ではありません。(が，θが十分に小さければ直線距離の近似値としても使えます。)円周に沿った距離とは言えるかもしれません。

＞rθ'＝速度

円運動の場合は速度でかまいません。

＞rθ''＝加速度

円運動の加速度は，円運動をさせるための円の中心を向いた加速度(向心加速度)と，回転数を増やすための円周方向の加速度の二つがあります。これはその内の後者の加速度成分です。円運動の加速度というと普通は前者の向心加速度と捉えられかねないので，単に加速度といってしまうのはどうかとおもいます。

この回答へのお礼

大変ありがとうございました。
良くわかりました！！

お礼日時：2013/12/13 12:39

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2013/12/11 21:34

1radとは半径r、弧の長さrの扇型の中心角です。

radは弧の長さの半径に対する比なのです。
ですので
rad=m/m
と表現できます。つまり次元だけ考えると約分されて無次元です。

No.1 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2013/12/10 12:59

基本的には運動方程式。

本当はベクトルでやらないといけないのですが，
わかりやすさ優先でスカラーのみでやります。

質点の運動方程式は

ma = F

半径rの円運動しているとすると速度がrθ'なので，回転方向についてはa = rθ''('は時間微分)で，働いている力のうち回転させるための力だけをFと書き直すことにすると

mrθ'' = F

になります。(ベクトルでやるとこのへんがもう少し厳密化されます。)

この両辺にrをかけます。

mr^2θ'' = rF

定義から，mr^2は質点の慣性モーメントI，rFがトルクNなので

Iθ'' = N

剛体の場合は剛体内の全ての点でθ''が等しいので，この式を剛体内の点の全てについて足し合わせて(積分)，足し合わせた結果を改めてI, Nと書き直せば同じ式が剛体の回転の運動方程式になります。(このへんもきちんと書けば長くなるので省略。)

この回答へのお礼

お世話になります。
大変お忙しいところ本当にありがとうございます。
rθ=距離
rθ'＝速度
rθ''＝加速度
という理解でよろしいでしょうか？

お礼日時：2013/12/12 13:09