運動方程式の変換

Question

極座標　ｒ方向：動径　∮方向：方位角　ｒ＞０

V（eｒ）は時間の関数

Ｖ（ｄeｒ）/ｄｔ＝（ｄ∮/dt）Ｖ（e∮）

Ｖはベクトル」を表しています。

なぜ、Ｖ（ｄeｒ）/ｄｔ＝（ｄ∮/dt）Ｖ（e∮）となるのですか？

教えて下さい。

NemurinekoNya · Accepted Answer

これは、極座標での速度の話ですよね。
　V(er)　r方向のベクトル(cosθ, sinθ) 
　V(eθ)　θ方向のベクトル(-sinθ, cosθ)

なので、これを微分すると、
　V(d(er)/dt)) = (d(cosθ)/dt, d(sinθ)/dt)
　= (dθ/dt)・(-sinθ, cosθ) = (dθ/dt)・V(eθ)
となります。

NemurinekoNya · Answer

こんにちは。
お礼、ありがとうございます。

ご質問の
～～～～～
V(e∮)　∮方向のベクトル(-sinθ, cosθ)となるのは、erとe∮は直交しているからですか？
～～～～～
は、
極座標（r,θ)について言えば、《YES》です。

しかし、デカルト直交座標系では、
　e1↑ = (1,0)
　e2↑ = (0,1)
ですので、
　d(e1↑)/dt = (0,0)
となり、
　d(e1↑)/d5 ≠ e2↑
です。
（記号↑は、ベクトルをあらわす）。

NemurinekoNya · Answer

極座標とデカルト直交座標とは、
　x = rcosθ
　y = rsinθ
あるいは、
　r = √(x^2+y^2)
　tanθ = y/x
という関係があります。

rを一定（記号c）として、θだけを変化させる。
この時、r=cという曲線ができますが、それをr＝cでのθ曲線と呼ぶことにします。で、その曲線の接線方向でθの向きが決まります。
───曲線座標では、こういう風に向きを決めます───

で、
r=一定とは、r^2 = x^2+y^2 =一定ですから、
原点Oを中心とする、半径rの円がθ曲線となります。
ですから、rが一定でも、θの大きさによって、接線の方向が異なってしまいます。
たとえば、点(1,0)と点(0,1)での接線の向きは違いますでしょう。
θ曲線の接線の方向が、θの位置によって変わってしまうんですよ。

同じようにして、θ＝c、rだけを変化させると、r曲線が得られますよね。
しかし、
これは、y = x・tanθという直線になるので、rを変化させた時の接線の方向は変わらない。

対して、デカルト直交座標。
y=cとして、xだけを変化させると、y=cでのx曲線が得られますが、これはx座標と平行、接線の向きもx軸と同じで変化しません。
y曲線の時も同様ですよね。

☆☆☆☆☆☆
よく知らないのですけれど、
点Pの位置ベクトルp↑、点OPの長さをR、
　p↑ = R・er↑
これを時間tで微分すると、
　v↑ = dp↑/dt = (dR/dt)・er↑ + R・d(er↑)/dt = (dR/dt)・er↑ + Rdθ/dt・eθ↑
よって、
　Vr = dR/dt
　Vθ = R・dθ/dt
とかやるんですよね。

で、
　eθ↑ = (-sinθ,cosθ)
だから、これを微分すると、
　eθ↑ = -dθ/dt(cosθ,sinθ) = -(dθ/dt)・er↑
となります。

そして、v↑を時間tで微分すれば、加速度αのrとθ方向の成分、αr、αθがでてきます。
　αr = d^2R/dt^2 - r(dθ/dt)^2
　αθ = 2(dR/dt)・(dθ/dt) + r(d^2θ/dt^2)
になるはずなので、
頑張って。

NemurinekoNya · Answer

あっ、
「y=cとして、xだけを変化させると、y=cでのx曲線が得られますが、これはx座標と平行、接線の向きもx軸と同じで変化しません。」
は間違いですね。
y軸と平行になります。

NemurinekoNya · Answer

おれ、何をやっているんだ。
ボケてんな～（ポリポリ）。

NO４が間違い。

(x2,c)-(x1,c) = (x2-x1,0）
だから、
x軸と平行になるんだ。

運動方程式の変換

これは、極座標での速度の話ですよね。

こんにちは。

極座標とデカルト直交座標とは、

あっ、

おれ、何をやっているんだ。

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