コブ・ダグラス型生産関数を使った問題が解けません。

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質問者：jagaoo
質問日時：2014/01/04 05:32
回答数：3件

コブ・ダグラス型生産関数を使った問題が解けません。解説付きで教えて欲しいです。
よろしくお願いします。

ある2 期間生きる消費者の効用関数がU=c1c2で与えられたとする。ここで c1,c2は各期の消費量である。
各期の所得をy1=100,y2=110とし,利子率を0.1とするとき、以下の問に答えよ。

(1)この消費者の効用最大化問題を定式化せよ。
(2) 最適な貯蓄s∗と各期の消費量を答えよ。

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回答 (3件)

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No.3

回答者： statecollege
回答日時：2014/01/07 07:25

>読んでも全くわからなかったので、最初から解法を解説していただけるとありがたいです。

効用最大化問題（需要曲線の導出問題）でも、費用最小化問題（費用曲線の導出）でも、数学的には「制限付き最大化問題」です。前者は、予算制約のもとでの効用最大化問題であり、後者は等費用のもとでの生産量最大化問題です。もう一度

　　http://okwave.jp/qa/q8337295.html

を見てください。あなたの解こうとしている問題は、私が回答したこの問題(↑)とまったく同じ問題だということがわかるでしょう（理解しようとつとめたのだろうか？）。あなたの問題は
　　　　
　　　　　max U = c1c2

s.t.

(1) c1 + s = y1

(2) c2 = (1+ r)s + y2

(1)と(2)は、ｓを消去すると、

(3)　　　c1 + c2/(1+r) = y1 + y2/(1+r)

となる。したがって、(1)と(2)の制約のもとでのUの最大化問題は、(3)の制約のもとでのUの最大化問題と同値であるといえる。もっと具体的には、与えられた数値を入れて書くと、「最大化問題の定式化とは

　　　c1 + c2/1.01 = 100 + 110/1.01

すなわち、

　　　c1 + c2/1.01 = 200　　　

の制約のもとで、効用

　　 U = c1c2

を最大化することだ。あるいは、

　　ｃ１+ s = 100
c2 = 1.01s + 110

の制約のもとで効用
　
　　Ｕ = c1c2

を最大化すること」、と書いてもよい。あとは、

　　http://okwave.jp/qa/q8337295.html

を参考に自分で解いてください。できた解答を「補足質問」のところで見せてください。

　　

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No.2

回答者： statecollege
回答日時：2014/01/04 08:19

なお、あなたの質問のタイトルですが、「コブ・ダグラス型生産関数」ではなく、「コブ・ダグラス型効用関数」の間違いですね！

　　U = c1c2
の両辺の自然対数をとり、logUをあらためてUと書き、効用関数を、
　　U = logc1 + logc2
と書いても解は変わらない。このように書けば、NO1で言及した質問の効用関数との類似性がわかるでしょう。効用関数は単調変換しても性質が変わらないことを、効用関数の序数的性質といいます。