気体分子の分布について

体積Vの中にＮ個の気体分子が入っているときに、分子の密度は場所によらず一定で一様に広がりますよね。これを示したいのですがどうすればいいのでしょうか？
この体積中に小体積ｖを考えてその中の分子数をｎとおいてこれが生じる確率（ｎの関数として）求めるといいらしいのですが、、、

No.1 回答者： noname#6587 回答日時： 2004/04/26 16:09

具体的計算はわからないのですが、、おっしゃられている通りと思います。

　他の答えが来ないので、無理に書くと、、

V/v=m と置いてmはとても大きいとします。
Ｎ個の分子全部がvの中に偶然いる確率は
　1/mのN乗　　
N-1個の分子がvの中にいる確率は
　1/mのN-1乗　掛ける(m-1)/m あやしい、、
．．．
vの中にある分子の期待値は
N*(N個の確率) + (N-1)*(N-1個の確率) + ...
これがN/mになるんでしょ、、、でも、これだけでは単に平均を計算しただけ。（当たり前の結果！？）
それぞれの確率の分布が鋭いピークを描き、故に「場所に寄らずほぼ一定」つまり、「揺らぎが小さい」と云える。と云うストーリーであったと思いますが。
　確か、ｌｏｇをとってさらに近似した式を評価するのであったように記憶、、、あいまいです。
すいません。

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#6200 回答日時： 2004/04/28 17:02

統計物理？

簡単にするため例えば箱に気体(N個の分子)が充満していてその内部を真中で左右２つに分けた場合を考えてください。
この時、一つの気体分子について左右どちらかに入る確率は1/2.
よって、n個が右側で残りが左側にある確率は
N!/n!(N-n)!2^N
で与えられます。
この確率分布について考えてみるとNが大きい程n=N/2を中心とする鋭い分布になります。
正確に言うとx=n/N-1/2としxの連続関数とみなすと
√(2N/π) exp(-2Nx^2)
となります。
この関数の標準偏差を求めると1/2√NとなりNが大きくなるとばらつく範囲が非常に小さくなります。
つまり、私達が計れるぐらいの差が生じる確率が低すぎてまずあり得なくなるんです。
よってマクロ的には左右どちらにも「ほぼ」同量の分子が入ってるとみなせるわけです。
これと同様に十分な分子数とマクロな空間においては場所によらず密度は「ほぼ」一定とみなせるわけです。