お世話になっております。
正6n角形の三つの頂点を結んで以下の三角形を作る時、その個数はいくつか。
(1)正三角形
(2)直角三角形
(3)二等辺三角形
という問題について質問です。
自然数nに対して、求める個数をnで表すのに、目的の三角形を作るための三つの頂点の選び方をnを用いてうまく説明する事が出来ません。
一応n=1、n=2 の二つの具体例からかなり強引にnで表すことは出来たのですが、(2)(3)は等差数列を使いました。(1)はパッと見で作りました。
(1)2n (2)6n(3n-1) (3)2n(9n-5)
が、推論としてはよろしくない気がします。二つの具体例だけで一般化して終りってのはマズいですよね?
何か良いアイディアがあればいただけると嬉しいです。宜しくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
1つの頂点の位置を固定したときに, 残る 2つの頂点の置き方を考えてみたら?
場合によっては外接円を考えると分かりやすいかもね.
ご回答ありがとうございます。
外接円は使いました。使わないと直角三角形の個数が求めにくいし、二等辺三角形も円の中心を通る直線があると説明しやすいので。
「正三角形を作る」場合では、選び出す三つの頂点、例えば、一点a1を定めて反時計回りにa[2],a[3],…,a[6n]と与えていくと、三つの頂点で添え数が最小のものをmとでもすれば、(m,m+2n,m+4m)の組合せになると思うのですが、何と言うか、うまく「繋いで」説明出来ないのです。頂点の選び方の総数と頂点の添え数の関係式をうまく「繋げ」たいところです。
一応単元としては場合の数ですが、漸化式を自分で作るのと同様に、数列の扱いにも手慣れていないと中々難しいと感じます。
No.2
- 回答日時:
(2)円周角を直角にすることを考えると、直角三角形になるためには一辺が直径になる場合です。
そうすると、引ける直径の本数は6n/2=3nです。
これであとはどの頂点を結んでもいいので、これに6n-2をかけて、
3n(6n-2)=18n-6n
(3)1点を選んで、そこから左右に均等な頂点を選べばいいので、
6n×(6n-2)/2=3n(6n-2)
ただし、ここから(1)で求めた正三角形がそれぞれ3回数えられているはずなので、4nを引く必要がある。
3n(6n-2)-4n=18n-10n
No.3
- 回答日時:
なんか簡単な問題に思えるのですが、どこか落とし穴あるのでしょうか?
(1)正三角形
正6n 角形のどれか1つの頂点を選ぶと、1つだけ正三角形を作れます
それを 6n 倍すると、1つの三角形を3回 数えてしまうので、
3で割った 2n 個となります
(2)直角三角形
6n 個ある頂点のうち、中心を結んだ線の反対側の点以外の2個を選ぶと
どちらかの点に直角な線を引いて、2個 直角三角形を作れます
6n 個から 2個選ぶのは
6nC2 = 6n ( 6n - 1)/2 通り
そのうち、ちょうど反対側の点を選ぶ 6n /2 通りを引いて
6n ( 6n - 1)/2 - 6n /2
しかし、上記は 1つの直角三角形について2回 数えているので2で割り
{6n ( 6n - 1)/2 - 6n /2}/2 = 9n^2 -3m
(3)二等辺三角形
6n 個ある頂点のうち、ちょうど反対の点以外のどれからの点を
中心を結ぶ線と対象に2点 選ぶと、二等辺三角形が
6n /2 - 1 個できます
このうち1個は正三角形で、正三角形だと 後で重複して数えてしまうので
とりあえず、覗いて数えると
6n /2 - 2個となります
他のすべての点についても、その点を頂点とする二等辺三角形ができるので
6n (6n /2 - 2) = 18n^2 - 12n
ただ、正三角形も二等辺三角形に含まれるので、(1)を足して
18n^2 - 12n + 2n = 18n^2 - 10n
【答え】
(1) 2n 個
(2) 9n^2 -3m 個
(3) 18n^2 - 10n (正三角形も二等辺三角形に含めて計算しました)
* これどっかの入試か試験問題? それとも宿題?
答えあってるかどうか気になるので、答えわかったら教えてください
熱心にご回答いただきありがとうございました。
当方社会人です。今日休みなので、再び学び直そうと一からやり直してるところです。(センターでは悲惨でしたが^^;)
え~と、多分入試問題では無いと思います。略解はありましたので、いただいた回答を見ますと、(1)(3)は良いです。(2)は、mじゃなくてnを書きたかったのでしょうか? いずれにせよ、(2)は私の質問にある通り18n^2-6n です。
しかし、求めるまでの説明にははっとしました。参考に致します。
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