凸正6n角形 の三つの頂点を結んで出来る三角形

お世話になっております。

正6n角形の三つの頂点を結んで以下の三角形を作る時、その個数はいくつか。
(1)正三角形
(2)直角三角形
(3)二等辺三角形

という問題について質問です。
自然数nに対して、求める個数をnで表すのに、目的の三角形を作るための三つの頂点の選び方をnを用いてうまく説明する事が出来ません。
一応n=1、n=2 の二つの具体例からかなり強引にnで表すことは出来たのですが、(2)(3)は等差数列を使いました。(1)はパッと見で作りました。
(1)2n (2)6n(3n-1) (3)2n(9n-5)
が、推論としてはよろしくない気がします。二つの具体例だけで一般化して終りってのはマズいですよね？

何か良いアイディアがあればいただけると嬉しいです。宜しくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/01/30 10:24

1つの頂点の位置を固定したときに, 残る 2つの頂点の置き方を考えてみたら?

場合によっては外接円を考えると分かりやすいかもね.

この回答への補足

もう少し粘ってみます。説明に抜け目が無さそうになったら締め切ろうと思います。

補足日時：2014/01/30 11:18

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
外接円は使いました。使わないと直角三角形の個数が求めにくいし、二等辺三角形も円の中心を通る直線があると説明しやすいので。
「正三角形を作る」場合では、選び出す三つの頂点、例えば、一点a1を定めて反時計回りにa[2],a[3],…,a[6n]と与えていくと、三つの頂点で添え数が最小のものをmとでもすれば、(m,m+2n,m+4m)の組合せになると思うのですが、何と言うか、うまく「繋いで」説明出来ないのです。頂点の選び方の総数と頂点の添え数の関係式をうまく「繋げ」たいところです。

一応単元としては場合の数ですが、漸化式を自分で作るのと同様に、数列の扱いにも手慣れていないと中々難しいと感じます。

お礼日時：2014/01/30 11:16

No.3 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/01/30 11:52

なんか簡単な問題に思えるのですが、どこか落とし穴あるのでしょうか？

（１）正三角形

　正6n 角形のどれか１つの頂点を選ぶと、１つだけ正三角形を作れます
　それを 6n 倍すると、１つの三角形を３回 数えてしまうので、
　３で割った 2n 個となります

（２）直角三角形
　6n 個ある頂点のうち、中心を結んだ線の反対側の点以外の２個を選ぶと
　どちらかの点に直角な線を引いて、２個 直角三角形を作れます
　6n 個から 2個選ぶのは
　6nC2 ＝ 6n （ 6n － 1）/2 通り
　そのうち、ちょうど反対側の点を選ぶ 6n /2 通りを引いて
　6n （ 6n － 1）/2 － 6n /2
　しかし、上記は １つの直角三角形について２回 数えているので２で割り
　｛6n （ 6n － 1）/2 － 6n /2｝/2 ＝ 9n^2 －3m

（３）二等辺三角形
　6n 個ある頂点のうち、ちょうど反対の点以外のどれからの点を
　中心を結ぶ線と対象に２点 選ぶと、二等辺三角形が
　6n /2 － 1 個できます
　このうち１個は正三角形で、正三角形だと 後で重複して数えてしまうので
　とりあえず、覗いて数えると
　6n /2 － 2個となります
　他のすべての点についても、その点を頂点とする二等辺三角形ができるので
　6n （6n /2 － 2） ＝ 18n^2 － 12n

　ただ、正三角形も二等辺三角形に含まれるので、（１）を足して
　18n^2 － 12n ＋ 2n ＝ 18n^2 － 10n

【答え】

（１）　2n 個
（２）　9n^2 －3m 個
（３）　18n^2 － 10n （正三角形も二等辺三角形に含めて計算しました）

* これどっかの入試か試験問題？　それとも宿題？
　答えあってるかどうか気になるので、答えわかったら教えてください

この回答へのお礼

熱心にご回答いただきありがとうございました。
当方社会人です。今日休みなので、再び学び直そうと一からやり直してるところです。(センターでは悲惨でしたが^^;)
え～と、多分入試問題では無いと思います。略解はありましたので、いただいた回答を見ますと、(1)(3)は良いです。(2)は、mじゃなくてnを書きたかったのでしょうか？ いずれにせよ、(2)は私の質問にある通り18n^2-6n です。

しかし、求めるまでの説明にははっとしました。参考に致します。

お礼日時：2014/01/30 12:24

No.2 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2014/01/30 11:46

(2)円周角を直角にすることを考えると、直角三角形になるためには一辺が直径になる場合です。

そうすると、引ける直径の本数は６ｎ／２＝３ｎです。
これであとはどの頂点を結んでもいいので、これに６ｎ－２をかけて、
３ｎ（６ｎ－２）＝１８ｎ－６ｎ

(3)１点を選んで、そこから左右に均等な頂点を選べばいいので、
６ｎ×（６ｎ－２）／２＝３ｎ（６ｎ－２）
ただし、ここから(1)で求めた正三角形がそれぞれ３回数えられているはずなので、４ｎを引く必要がある。
３ｎ（６ｎ－２）－４ｎ＝１８ｎ－１０ｎ

この回答へのお礼

そのようにスラスラと思い浮かべる事が羨ましいです。
私はn=1,2(六角形と十二角形)の場合を一々書いてしまいました。

お礼日時：2014/01/30 12:26