区分求積

回転体の体積（区分求積）
ｙ＝ｘ＾２、ｙ＝ｘについて、ｘ＝０からｘ＝１まで両者で囲まれた、部分をｙ＝ｘを中心に回転させた体積を求めよ。

(解答）V=∫（０～１）π｛（ｘ－ｘ＾２／√２）＾２｝√２ｄｘとあるのですが、図のように√２（円柱部分の高さ）底辺の√２というのはどうやって出しているのでしょうか?
求積のシステム自体はわかっているのですが。

No.1 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2014/02/04 14:33

回転体の体積の本来の式は

微小な厚みdsの半径rの円盤（面積S=πr^2）について
V=∫(0～√2) Sds　...(※)
ここで、sはｙ＝ｘの回転軸の直線に沿って測った原点からの
距離です。ｓとx座標の関係は
s=（√2）ｘ　...(◆)
ですから体積を求める積分範囲の対応は
s:0～√2 ⇔ x:0～1 ...(A)
となります。
ds=(√2)dx ...(B)
円盤の半径rとxの関係は
r=(x-x^2)/√2 ...(C)
ですから
体積Vの(※)の式は(◆)の置換積分を行って
(A),(B),(C)を代入すると
V=∫(0～1) (πr^2) (√2)dx
=∫(0～1) π{(x-x^2)/√2}^2 (√2)dx ←[質問の式]
=(π/√2)∫(0～1)（x^2-2x^3+x^4) dx
=(π/√2)[(1/3)x^3-(1/2)x^4+(1/5)x^5](0～1)
=(π/√2)(10-15+6)/30
=π(√2)/60

と求まります。
お分かり？

No.2 回答者： yyssaa 回答日時： 2014/02/04 14:47

＞y=x^2上の点(x,x^2)(0≦x≦1)から直線x-y=0に下ろした垂線の長さdは

d=(x-x^2)/√2なので、点(x,x^2)をy=xを軸に回転させて出来る円の面積は
πd^2=π{(x-x^2)/√2}^2になります。
これにy=x上の微小部分√2△xをかけてx=0→1まで積分すれば体積が
得られます。